《理工科线性代数复习提纲.docVIP

CH1 行列式 一、n阶行列式的定义 排列，逆序数 二、行列式的性质 1.转置值不变 2.互换变号 3.公因子外提 4.成比例，值为0 5.拆分性质 6.乘加法则 三、行列式主要计算方法 ★1.按行（列）展开 (余子式，代数余子式) 2.定义法 3.归“1”法 4.“爪”型法 四、克拉默法则 (1)有唯一解 (2) 有非零解 CH2矩阵的运算 一、矩阵的乘法 二、求矩阵的逆： 方法一 按定义，找矩阵B使得 方法二 伴随矩阵法： ★方法三 初等变换法 (了解) 方法四 利用分块矩阵求解 ，， ， 三、矩阵A可逆的充要条件： ★n阶矩阵A可逆A为非奇异矩阵()只有零解 r(A)=nA满秩A的行（列）向量组线性无关 A的特征值均非零 A可仅经初等行变换化为E A与E等价……….. 四、有关伴随矩阵的一些结论： ★（1） （2）可逆可逆，且， ★（3）（设A矩阵为n阶矩阵） 五、求矩阵方程：第一种情况 方法一：然后 方法二： 第二种情况 方法：然后 第三种情况 方法：， 然后 六、求矩阵的秩： ★方法一：将矩阵通过行变换化为行阶梯形矩阵，矩阵的秩=其行阶梯形矩阵中非零行行数. 方法二：利用定义（矩阵非零子式的最高阶数）. 七、矩阵的转置性质（P41）、方阵的行列式性质(P43)、逆矩阵的性质(P51) CH3向量组的线性相关性 一、判断向量组的线性相关性： ★方法一： 若存在一组不全为零的数，使得则向量组 线性相关，否则线性无关 ★方法二：通过行变换化为行阶梯形矩阵 若=向量个数n，则线性相关 若向量个数n，则线性无关 求最(极)大无关组： 1.定义 ★2.求法： 通过行变换化为最简形矩阵， 最简形矩阵中每个非零行的首个非零元所在的列对应的向量就构成一个最大无关组 例：求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.，，， 解：令 所以, 其中为一个极大无关组,且.需检验! ★三、方程组的求解 1.齐次线性方程组Ax=0： （1）判别法：只有零解 r (A)=未知量个数n 有非零解 r (A)未知量个数n （2）求解方法：将系数矩阵通过行变换化为行最简形矩阵，再写出对应方程组. 例：求齐次线性方程组的基础解系以及系数矩阵的秩, 并用基础解系表示方程组的通解. 解：将系数矩阵用初等行变换法化为行最简形 得同解方程组,解得,(对齐!) 所以原方程组的通解为(为自由未知量) 需检验! 基础解系为 非齐次线性方程组Ax=b： 解的判别定理 无解 唯一解未知量个数 无穷多解未知量个数 （2）求解方法：将增广矩阵通过行变换化为行最简形矩阵，再写出对应方程组. 例：求非齐次方程组的通解、相应导出组（齐次方程组）的基础解系，并求增广矩阵的秩. 解：将增广矩阵用初等行变换法化为行最简形 , 得同解方程组,解得,(对齐!) 所以原方程组的通解为(为自由未知量) 需检验! 对应齐次方程组的基础解系为 CH4矩阵的对角化 一、特征值与特征向量 1.定义 2. ⑥ ★3.求法 二、相似矩阵 1.定义 2. 三、正交矩阵 1.定义 2.性质 ① ② ③列向量组为单位正交向量组 四、矩阵的对角化 1. （1）n阶方阵可对角化有n个线性无关的特征向量 （2）实对称矩阵一定可以对角化 2.①找可逆矩阵P，使得 方法：(1)求A的特征值，对应的特征向量 (2)令，则 ②找正交矩阵Q，使得 方法：(1)求A的特征值，对应的特征向量 (2)对向量施密特正交化： 取，，，……. 单位化：令 (3)令正交矩阵，则 必考大题： 一、行列式计算（4阶数字、n阶行列式） 二、求逆矩阵或矩阵方程 三、向量组的相关性判别 四、求向量组的最（极）大无关组 五、方程组解的判别及求通解、基础解系 六、方阵A的特征值、特征向量的求解、对角化判别、计算、 注意事项： 符号规范（分清行列式与矩阵） 初等变换中不能出现列变换 解方程时一定将矩阵化为行最简形 特征向量一定要写全 能检验的要检验 几个重要的概念：逆矩阵、矩阵的秩、最大无关组、基础解系、向量组的秩、特征值与特征向量、相似矩阵、正交矩阵