《讲义62.docVIP

6-2 循环码(Cyclic Code) 循环码是线性分组码的最重要的一类码，它的结构完全建立在有限域多项式的基础上。它具有两个基本特点：一是编码电路与译码电路非常简单，易于实现；二是其代数性质好编码译码分析方便，有一些好的译码方法。 6-2-1 循环码的描述 [循环码定义]： 一个(n,k)线性分组码C，如果码组中的一个码字的循环移位也是这个码组中的一个码字，则称C为循环码。 C(0)={cn-1,cn-2,……c1,c0} ∈C C(1)={cn-2,cn-3,……c0,cn-1} ∈C 称为具有循环自闭性。 [循环码的多项式描述]： 循环码可以用监督矩阵和生成矩阵描述，但更多地用域上多项式来描述，一个(n,k)循环的码字矢量C(0)用一个n-1次多项式描述，可以表示为： C(x)= cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0 这个多项式称为码字多项式。 码字矢量的循环移位可以用x乘上C(x)后的模xn-1(xn+1)来表示。 xC(x)= x(cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0) = cn-1xn+cn-2xn-1+……+c1x2+c0 x = cn-2xn-1+……+c1x2+c0 x+ cn-1 (模xn+1) 模xn+1相当于xn+1=0；xn=1 [循环码举例]： (7,4)系统循环码的编码及码字多项式如下表： 信息码字 循环码字 码字多项式 g(x)的倍式 倍式编码 0000 0000 000 0 0 0000 0001 0001 011 x3+x+1 1 0001 0010 0010 110 x4+x2+x x 0010 0011 0011 101 x4+x3+x2+1 x+1 0011 0100 0100 111 x5+x2+x+1 x2+1 0101 0101 0101 100 x5+x3+x2 x2 0100 0110 0110 001 x5+x4+1 x2+x+1 0111 0111 0111 010 x5+x4+x3+x x2+x 0110 1000 1000 101 x6+x2+1 x3+x+1 1011 1001 1001 110 x6+x3+x2+x x3+x 1010 1010 1010 011 x6+x4+x+1 x3+1 1001 1011 1011 000 x6+x4+x3 x3 1000 1100 1100 010 x6+x5+x x3+x2+x 1110 1101 1101 001 x6+x5+x3+1 x3+x2+x+1 1111 1110 1110 100 x6+x5+x4+x2 x3+x2 1100 1111 1111 111 x6+x5+x4+x3+x2+x+1 x3+x2+1 1101 可以看出：每个码字的循环移位仍然属于这个码组， 注意：并不是说这个码组是由一个码字的循环移位构成的，本例中是由四个码字的循环移位构成的。 [生成多项式的定义]： 在一个(n,k)循环码中，有且仅有一个次数为n-k=r的码字多项式，记为： g(x)=xr+gr-1xr-1+……+g1x+1 同时：每个码字多项式都是g(x)的倍式；每个次数小于等于n-1的g(x)的倍式必为一个码字多项式。这时称g(x)的(n,k)码的生成多项式。 从上面的例子可见，g(x)=x3+x+1为(7,4)循环码的生成多项式。 [生成多项式的性质]： 循环码C中次数最低的非零码字多项式是唯一的，其次数为r=n-k。 令g(x)=xr+gr-1xr-1+……+g1x+g0为一个(n,k)循环码C中最低次数码字多项式，则其常数项必为g0=1。 [定理1]： (n,k)循环码的生成多项式g(x)是xn+1的因式。 {证明}：已知g(x)为一个n-k次多项式，则xkg(x)为一个n次多项式，则必有： 因为xkg(x)是g(x)的循环移位，它也是一个码字多项式，所以一定为g(x)的倍式，即有：g(k)(x)为g(x)的循环移位在模xn+1下的结果，因此有：g(k)(x)=q(x)g(x)，由上面的关系式可知： xkg(x)=(xn+1)+g(k)(x) xn+1=xkg(x)+q(x)g(x)=[xk+q(x)]g(x) 因此，g(x)为xn+1的因式。 [定理2]： 若g(x)是一个n-k次多项式，且为xn+1的因式，则g(x)生成一个(n,k)循环码。 这个定理说明：xn+1的次数为n-k的任何一个因式，均可以生成一个(n,k)循环码。对于较大的n，xn+1可以有多个n-k次多项式，产生不同的(n,k)循环码，但可能有好有坏。 例如：多项式x7+1可以分解为： x7+1=(x3+x+1)(x3+x2+1)(x+1) 可以看出