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《用不等式求最值2
用不等式求最值
一、不等式的基本性质与定理
1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系:
; ; .
2.不等式的性质:
(1)或(反对称性)
(2)或(传递性)
(3)
推论1:(移项法则);
推论2:(同向不等式相加)
(4),
推论1:;
推论2:
(5)()
(6)(倒数法则)
3.常用的基本不等式和重要的不等式
(1), 当且仅当取“=”.
(2)(当且仅当时取“=”)
(3),则(当且仅当时取“=”)
注:——算术平均数,——集几何平均数.
(4)(当且仅当时取“=”)
(5)
推论1:(当且仅当时取“=”)
推论2:
(6)(当且仅当时取“=”)(柯西不等式)
(7) 若ab0,m0,则 ;得
(1)如积为定值,则当且仅当时有最小值;
(2)如和为定值,则当且仅当时有最大值.
即:积定和最小,和定积最大.
注:运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等.
5.含绝对值的不等式性质: (注意等号成立的情况).
二、一个有用的结论
关于函数
1.时,当时;当时.在、上是减函数;在、上是增函数.
2.时,在、上为增函数.
一、题型
1?、不等式求最值
例1.求函数的最小值,下列解法是否正确?为什么?
解法一、
解法二
当,即时,
答:以上两种解法均有错误,
解法一、错在取不到等号,即不存在x使
解法二、不是常数。
正确解法:
当且仅当即时,
单变量型:
例2.求下列函数的最值:
(1);(2) ;
解:(1)==
(2)==
(3);(4) ;(5)
解:(3)=
(4)
(5)=
=
其中,解得
法2:
所以
(6)
解:
(7)
解:
(8)求的最大值。
解:
若变为如何?
所以
(9)已知:,求证:
解:
练习
已知那么的最小值是
2下列函数中,的最小值为的是 ( )
3. (福建文)下列结论正确的是
当且时,则 当时,
当≥时,的最小值为 当时,无最大值
已知,则的最小值为( )
8.(2004年湖北高考·文史第8题)
已知有 ( )
A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1
5.,由不等式≥,≥,
≥,…,启发我们得到推广结论:
≥,则
6求下列函数的最值
; (2)
7.已知,,成等差数列,成等比数列,
则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】:D
【分析】:
例6.用一张长16厘米,宽10厘米的矩形铁皮,四角各减去一个正方形,折成一个无盖铁盒,求此铁盒的最大容积。
错解:设正方形边长为厘米()
最大容积为(厘米)3。
由于不等式等号成立的条件不存在,所以这个答案是错的。
注:本题正确解法是:
设正方形边长为厘米()
当,即是等号成立,
所以铁盒的最大容积为144(厘米)3。
小结:如果a,b,c,参数,那么
(1)(当且仅当时取“=”号);
(2)(当且仅当时取“=”号);
(3)(当且仅当时取“=”号)。
正参数由“值定,可等”确定。这样可使原来不能同时成立的条件得到满足,从而求出最值。
例1.求函数的最大值。
解:设则
当且仅当即时取等号,此时。
若所含因子仅幂次不同,则不需增加参数的个数。
例2.求的最大值。
解:设则
当且仅当
即时取等号,此时。
类似地可求得函数的最大值为。
用上面的方法还可解决某些如不同号,…一类函数的最值问题。
例3.求函数的最小值。
解:设,
则
当且仅当
即时取等号,此时可求得。依照上例还可拓广为求某些形如与且的函数的最值问题。
当函数的解析式变量多、项数多、系数无一定规律时,如果直接用均值定理求其最大(小)值一般较为困难,此时便可通过“设参、定参”,并把表达式进行适当的化分或重组,创设使用含参均值定量的情景,然后利用含参均值定理加以解决。
条件(双变量)型
例1. 已知(为常数),,求的最小值
1)法一:直接利用基本不等式:≥当且仅当,即时等号成立
说明:为了利用均值不等式,本题利用了“1”的逆代换。
法二:消元化为一元函数
由得
∵ x0,y0,a0 ∴ 由0得y-b0
∴ x+y≥
当且仅当,即时,等号成立
法三:三角代换.令,,∈(0,)
∴ ,
∴ x+y=
≥
当且仅当时,等号成立
例2:已知,,且,求 的最大值.
解:法一,
法二、由得
变式:1已知正数x、y满足x+2y=1,求+的最小值.
解:∵x、y为正数,且x+2y=1,
∴+=(x+2y)(+)
=3++≥3+2,
当且仅当=,即当x=-1,y=1-时等号成立.
∴+的最小值为3+2.
变式:2已知:、,,求的最小值
解:由已知得:,又∵,∴,
,
当且
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