《用不等式求最值2.doc

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《用不等式求最值2

用不等式求最值 一、不等式的基本性质与定理 1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系: ; ; . 2.不等式的性质: (1)或(反对称性) (2)或(传递性) (3) 推论1:(移项法则); 推论2:(同向不等式相加) (4), 推论1:; 推论2: (5)() (6)(倒数法则) 3.常用的基本不等式和重要的不等式 (1), 当且仅当取“=”. (2)(当且仅当时取“=”) (3),则(当且仅当时取“=”) 注:——算术平均数,——集几何平均数. (4)(当且仅当时取“=”) (5) 推论1:(当且仅当时取“=”) 推论2: (6)(当且仅当时取“=”)(柯西不等式) (7) 若ab0,m0,则 ;得 (1)如积为定值,则当且仅当时有最小值; (2)如和为定值,则当且仅当时有最大值. 即:积定和最小,和定积最大. 注:运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等. 5.含绝对值的不等式性质: (注意等号成立的情况). 二、一个有用的结论 关于函数 1.时,当时;当时.在、上是减函数;在、上是增函数. 2.时,在、上为增函数. 一、题型 1?、不等式求最值 例1.求函数的最小值,下列解法是否正确?为什么? 解法一、 解法二 当,即时, 答:以上两种解法均有错误, 解法一、错在取不到等号,即不存在x使 解法二、不是常数。 正确解法: 当且仅当即时, 单变量型: 例2.求下列函数的最值: (1);(2) ; 解:(1)== (2)== (3);(4) ;(5) 解:(3)= (4) (5)= = 其中,解得 法2: 所以 (6) 解: (7) 解: (8)求的最大值。 解: 若变为如何? 所以 (9)已知:,求证: 解: 练习 已知那么的最小值是 2下列函数中,的最小值为的是 ( ) 3. (福建文)下列结论正确的是 当且时,则 当时, 当≥时,的最小值为 当时,无最大值 已知,则的最小值为( ) 8.(2004年湖北高考·文史第8题) 已知有 ( ) A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1 5.,由不等式≥,≥, ≥,…,启发我们得到推广结论: ≥,则 6求下列函数的最值 ; (2) 7.已知,,成等差数列,成等比数列, 则的最小值是(  ) A. B. C. D. 【答案】:D 【分析】: 例6.用一张长16厘米,宽10厘米的矩形铁皮,四角各减去一个正方形,折成一个无盖铁盒,求此铁盒的最大容积。 错解:设正方形边长为厘米() 最大容积为(厘米)3。 由于不等式等号成立的条件不存在,所以这个答案是错的。 注:本题正确解法是: 设正方形边长为厘米() 当,即是等号成立, 所以铁盒的最大容积为144(厘米)3。 小结:如果a,b,c,参数,那么 (1)(当且仅当时取“=”号); (2)(当且仅当时取“=”号); (3)(当且仅当时取“=”号)。 正参数由“值定,可等”确定。这样可使原来不能同时成立的条件得到满足,从而求出最值。 例1.求函数的最大值。 解:设则 当且仅当即时取等号,此时。 若所含因子仅幂次不同,则不需增加参数的个数。 例2.求的最大值。 解:设则 当且仅当 即时取等号,此时。 类似地可求得函数的最大值为。 用上面的方法还可解决某些如不同号,…一类函数的最值问题。 例3.求函数的最小值。 解:设, 则 当且仅当 即时取等号,此时可求得。依照上例还可拓广为求某些形如与且的函数的最值问题。 当函数的解析式变量多、项数多、系数无一定规律时,如果直接用均值定理求其最大(小)值一般较为困难,此时便可通过“设参、定参”,并把表达式进行适当的化分或重组,创设使用含参均值定量的情景,然后利用含参均值定理加以解决。 条件(双变量)型 例1. 已知(为常数),,求的最小值 1)法一:直接利用基本不等式:≥当且仅当,即时等号成立 说明:为了利用均值不等式,本题利用了“1”的逆代换。 法二:消元化为一元函数 由得 ∵ x0,y0,a0 ∴ 由0得y-b0 ∴ x+y≥ 当且仅当,即时,等号成立 法三:三角代换.令,,∈(0,) ∴ , ∴ x+y= ≥ 当且仅当时,等号成立 例2:已知,,且,求 的最大值. 解:法一, 法二、由得 变式:1已知正数x、y满足x+2y=1,求+的最小值. 解:∵x、y为正数,且x+2y=1, ∴+=(x+2y)(+) =3++≥3+2, 当且仅当=,即当x=-1,y=1-时等号成立. ∴+的最小值为3+2. 变式:2已知:、,,求的最小值 解:由已知得:,又∵,∴, , 当且

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