《由圆类比出有心曲线的性质.docVIP

由圆类比出有心曲线的几个性质 湖北省阳新县高级中学　邹生书 波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”， “类比是获得发现的伟大源泉”．类比在科学创造的发明与发现中有着十分广泛的应用．毫不例外，在数学领域中也有着广泛的应用．数学中应用类比方法的关键，是要善于发现两个不同数学对象在空间形式或数量关系之间的“相似”， 而这种“相似”并不是简单的模仿和复制，而是富有创造性的设想和探究． ? 在有心圆锥曲线中，圆是最简单的图形，本文笔者借助类比从圆中我们熟悉的几个性质出发，类比出椭圆、双曲线的几个类似性质． ? 1．我们知道：若是的任意一条直径，点是圆上任意一点， 则，若直线的斜率都存在，则． ? 怎样将此性质类比到椭圆上呢？若是椭圆的任意一条直径，点是椭圆上任意一点，显然；若直线的斜率都存在，显然，那么是否为定值呢？ ? 设，因为是椭圆的直径，所以点的坐标为，所以．又因为点在椭圆上，所以有，两式相减得，，所以，所以．于是有如下结论： ? 性质1.1? 已知是椭圆的直径，点是椭圆上任意一点，若直线的斜率都存在，则． ? 同理可证双曲线也有如下类似性质： ? 性质1.2? 已知是双曲线的直径，点是双曲线上任意一点，若直线的斜率都存在，则． ? 2．我们知道：若直线与相切于点，则有，若直线的斜率都存在，则． ? 如何将此性质成功类比到椭圆呢？若直线与椭圆相切于点，显然不成立；若直线的斜率都存在，显然．那么是否为定值呢？ ? 设，则切线的方程为：，所以，又，所以，于是有如下结论： ? 性质2.1? 若直线与椭圆相切于点，且直线的斜率都存在，则有． ? 同理可证双曲线也有如下类似性质： ? 性质2.2? 若直线与双曲线相切于点，且直线的斜率都存在，则有． ? 3．我们又知道：若是的非直径的弦，点是弦的中点，则有则有，若直线的斜率都存在，则． ? 将此性质类比到椭圆、双曲线有如下性质： ? 性质3.1 ?若是椭圆上的非直径的弦，点是弦的中点，且直线的斜率都存在，则． ? 证明? 设，则有①，②，，将①式减②式得，，所以所以，即． ? 性质3.2? 若是双曲线上的非直径的弦，点是弦的中点，若直线的斜率都存在，则． ? 4．我们还知道：已知是的两条半径，圆在两点处的切线相交于点，（1）若，则，若直线的斜率都存在，则； ? （2）若，则． ? 将此性质类比到椭圆、双曲线可得如下性质： ? 性质4.1? 已知是椭圆的两条半径，椭圆在两点处的切线相交于点，且直线的斜率都存在，则． ? 证明? 因为直线的斜率都存在，设，则椭圆在点处的切线方程为，所以，设，同理可得椭圆在点处的切线斜率为，所以．因为所以，即，从而． ? 性质4.2? 若是双曲线的两条半径，双曲线在两点处的切线相交于点．（1）若，且直线的斜率都存在，则；（2）若，则． ? 下面我们以2010年高考题为例来说明本文类比得到的性质在解题中的应用． ? 例1? (2010年高考宁夏卷理科第12题)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且的中点为,则的方程为（?? ） ? ??? ???????? ? 解? 设曲线方程为,，，由本文性质3.2有，所以，又因为，所以，联立解得，故所求曲线的方程为，故应选． ? 例2（2010年安徽高考理科第19题）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率． ? （Ⅰ）求椭圆的方程； ? （Ⅱ）求角平分线所在直线方程； ? （Ⅲ）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． ? 解（Ⅰ）易求得椭圆的方程为（过程略）； ? （Ⅱ）可求得直线的方程为（过程略）； ? （Ⅲ）假设存在这样的两个不同的点，设中点为．因为，所以，又，由本文性质3.1得，，即，也就是①，又点在直线上，所以有②，联立①②解得，所以中点就是点，因点在椭圆上，而弦的中点不可能在椭圆上，故不存在关于直线对称的相异两点． ? 参考文献： ? 邹生书．有心曲线与直径相关的切线性质．河北理科教学研究．2010（5）