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电场线的应用 　　 　　1、关于感应电荷问题 　　①感应电荷的绝对值小于或等于施感电荷的绝对值．如图所示，A是带正电的导体，电量为q，当它靠近中性导体B时，在B的近端产生感应负电荷－ ，远端产生感应正电荷＋ ．这里，若简单认为感应电荷量等于施感电荷量，即 ，则结论是错误的，事实上可以证明 ． 　　导体在静电平衡下是个等势体，根据电场线性质，B的远端＋ 发出的电场线不能终止于近端的－ 上，只能终止于无穷远处，因此必有 ．同理，从无穷远处来的电场线亦不能终止于导体B近端的－ 上，因此，可以断定终止于B近端负电荷的电场线全部来自于A上的施感电荷．由高斯定理的几何意义，起始于A上施感正电荷的电场线条数为 ，终止于B近端上感应负电荷的电场线条数为 ．．若注意到施感电荷＋q发出的电场线可以部分终止于无穷远处或全部终止于B近端感应电荷－ 上的事实，则有 ． 　　在特殊情况下，施感电荷发出的电场线可以全部终止于感应电荷上，因而有 ．譬如导体空腔内的施感电荷在腔内表面感应的电荷就属于这种情况． 　　②两个导体中（不论电荷量如何）至少有一个导体其表面上各点的面电荷密度不会异号．这一结论可采用反证法来证明．设A、B两个导体上都出现异号电荷，如图所示．又设 ，则根据电场线性质，起始于A上正电荷的电场线必定有一部分终止于B上的负电荷，而终止于A上负电荷的电场线不可能起始于A上的电荷，因为A是一个等势体，当然也不可能起始于B上的正电荷，否则将导致 与题设相矛盾．因此，只可能起始于无穷远处，于是有 ．同理可知，起始于B上正电荷的电场线既不能终止于B上的负电荷，也不能终止于A上的负电荷，只能终止于无穷远处．于是又 ，这与 相矛盾．由此证明，原先假设A、B两导体同时带异号电荷是不可能的，可能的是两个导体中至少要有一个不同时带异号电荷． 　　③带等量同号电荷的两相同导体球面不可能感应异号电荷．为确定起见，假定两导体球面上原来带的都是正电荷（负电荷可同样论证），且其中有一个球面上出现负感应电荷，则根据电场线性质应有电场线终止于该负电荷处．因为两导体球面的电势相等，所以终止于负电荷的电场线既不可能起始于同一球面，也不可能起始于另一球面，而只能起始于无穷远处．但是，球面上原有正电荷发出电场线是终止于无穷远处的，即无穷远处的电势比球面的电势要低，所以不可能有电场线是起始于无穷远而终止于导体球面的，这就证明了球表面不可能感应出负电荷． 　　2、关于电势问题 　　①在无电荷存在的真空静电场中，电势不可能有极值．设所论空间某点P的电势有极大值，则P点电势高于周围临近各点的电势．根据电场线性质3，必有电场线从P点发出，于是根据电场线性质，P点肯定有正电荷存在，这就与无电荷真空相矛盾，故P点电势不可能有极大值．同理可证P点电势也不可能有极小值． 　　②若所有导体电势都相等，则导体以外的无电荷空间中各点的电势均与各导体的电势相等． 　　设所论空间有三个导体，且 ，根据电场线性质，三个导体间彼此不可能有电场线相连接，空间可能有的电场线要么从三个导体发出终止于无穷远，要么从无穷远射来终止于这些导体上．若空间某点P电势与导体电势不相等，如 ，则根据电场线性质3，过P点必有电场线指向导体，于是空间中必有电势为极大值的点，因为电势在没有电荷的空间是连续分布的，且空间的边界一个是U（三个导体），另一个是无穷远（ ）．显然，这种情况与前一结论相矛盾．同理可证 将产生相同的矛盾．由于P点是任意取的，则命题得证． 　　③在除了导体以外没有其他电荷分布的情况下，若所有导体都是电中性的，则各导体的电势都相等，且为零．如图所示，设导体1与导体2电势不相等，如 ，两个导体都是电中性，则根据电场线性质1、3，由导体1上正电荷发出的电场线，一部分将终止于导体2上的负电荷，另一部分将延伸到无穷远处；导体2上正电荷发出的电场线只能延伸到无穷远处；导体1上的负电荷是要终止电场线的，但这电场线既不能由导体1发出（导体是等势体），也不能接受导体2上发出的电场线（因 ），更不能接受来自无穷远处的电场线，因为导体2已有电场线延伸到无穷远处，这就与假设 相矛盾．采用同样的方法，不难证明对于 的所有情况都会出现类似的矛盾．因此，导体1和导体2的电势只能相等且为零，故结论得证． 　　④中性孤立导体的电势等于零，表面电荷面密度处处为零．这个结论可用反证法加以论证．不妨假设孤立中性导体的电势U＞0，则根据电场线性质，此导体表面某处必有电场线发出而终止于无穷远处，因此该处表面必有电荷存在．导体既然是电中性的，那么，由电荷守恒定律可以谁知，导体表面另外某处必有等量负电荷存在，同样由电场线性质可知负电荷上必有电场线终止，这些电场线唯一可能的来源只能是起始于无穷远处，因此有 ，显然，这和开始的假设相矛盾．若假设U＜0，同样导致矛