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《电场线的应用

电场线的应用      1、关于感应电荷问题   ①感应电荷的绝对值小于或等于施感电荷的绝对值.如图所示,A是带正电的导体,电量为q,当它靠近中性导体B时,在B的近端产生感应负电荷- ,远端产生感应正电荷+ .这里,若简单认为感应电荷量等于施感电荷量,即 ,则结论是错误的,事实上可以证明 .   导体在静电平衡下是个等势体,根据电场线性质,B的远端+ 发出的电场线不能终止于近端的- 上,只能终止于无穷远处,因此必有 .同理,从无穷远处来的电场线亦不能终止于导体B近端的- 上,因此,可以断定终止于B近端负电荷的电场线全部来自于A上的施感电荷.由高斯定理的几何意义,起始于A上施感正电荷的电场线条数为 ,终止于B近端上感应负电荷的电场线条数为 ..若注意到施感电荷+q发出的电场线可以部分终止于无穷远处或全部终止于B近端感应电荷- 上的事实,则有 .   在特殊情况下,施感电荷发出的电场线可以全部终止于感应电荷上,因而有 .譬如导体空腔内的施感电荷在腔内表面感应的电荷就属于这种情况.   ②两个导体中(不论电荷量如何)至少有一个导体其表面上各点的面电荷密度不会异号.这一结论可采用反证法来证明.设A、B两个导体上都出现异号电荷,如图所示.又设 ,则根据电场线性质,起始于A上正电荷的电场线必定有一部分终止于B上的负电荷,而终止于A上负电荷的电场线不可能起始于A上的电荷,因为A是一个等势体,当然也不可能起始于B上的正电荷,否则将导致 与题设相矛盾.因此,只可能起始于无穷远处,于是有 .同理可知,起始于B上正电荷的电场线既不能终止于B上的负电荷,也不能终止于A上的负电荷,只能终止于无穷远处.于是又 ,这与 相矛盾.由此证明,原先假设A、B两导体同时带异号电荷是不可能的,可能的是两个导体中至少要有一个不同时带异号电荷.   ③带等量同号电荷的两相同导体球面不可能感应异号电荷.为确定起见,假定两导体球面上原来带的都是正电荷(负电荷可同样论证),且其中有一个球面上出现负感应电荷,则根据电场线性质应有电场线终止于该负电荷处.因为两导体球面的电势相等,所以终止于负电荷的电场线既不可能起始于同一球面,也不可能起始于另一球面,而只能起始于无穷远处.但是,球面上原有正电荷发出电场线是终止于无穷远处的,即无穷远处的电势比球面的电势要低,所以不可能有电场线是起始于无穷远而终止于导体球面的,这就证明了球表面不可能感应出负电荷.   2、关于电势问题   ①在无电荷存在的真空静电场中,电势不可能有极值.设所论空间某点P的电势有极大值,则P点电势高于周围临近各点的电势.根据电场线性质3,必有电场线从P点发出,于是根据电场线性质,P点肯定有正电荷存在,这就与无电荷真空相矛盾,故P点电势不可能有极大值.同理可证P点电势也不可能有极小值.   ②若所有导体电势都相等,则导体以外的无电荷空间中各点的电势均与各导体的电势相等.   设所论空间有三个导体,且 ,根据电场线性质,三个导体间彼此不可能有电场线相连接,空间可能有的电场线要么从三个导体发出终止于无穷远,要么从无穷远射来终止于这些导体上.若空间某点P电势与导体电势不相等,如 ,则根据电场线性质3,过P点必有电场线指向导体,于是空间中必有电势为极大值的点,因为电势在没有电荷的空间是连续分布的,且空间的边界一个是U(三个导体),另一个是无穷远( ).显然,这种情况与前一结论相矛盾.同理可证 将产生相同的矛盾.由于P点是任意取的,则命题得证.   ③在除了导体以外没有其他电荷分布的情况下,若所有导体都是电中性的,则各导体的电势都相等,且为零.如图所示,设导体1与导体2电势不相等,如 ,两个导体都是电中性,则根据电场线性质1、3,由导体1上正电荷发出的电场线,一部分将终止于导体2上的负电荷,另一部分将延伸到无穷远处;导体2上正电荷发出的电场线只能延伸到无穷远处;导体1上的负电荷是要终止电场线的,但这电场线既不能由导体1发出(导体是等势体),也不能接受导体2上发出的电场线(因 ),更不能接受来自无穷远处的电场线,因为导体2已有电场线延伸到无穷远处,这就与假设 相矛盾.采用同样的方法,不难证明对于 的所有情况都会出现类似的矛盾.因此,导体1和导体2的电势只能相等且为零,故结论得证.   ④中性孤立导体的电势等于零,表面电荷面密度处处为零.这个结论可用反证法加以论证.不妨假设孤立中性导体的电势U>0,则根据电场线性质,此导体表面某处必有电场线发出而终止于无穷远处,因此该处表面必有电荷存在.导体既然是电中性的,那么,由电荷守恒定律可以谁知,导体表面另外某处必有等量负电荷存在,同样由电场线性质可知负电荷上必有电场线终止,这些电场线唯一可能的来源只能是起始于无穷远处,因此有 ,显然,这和开始的假设相矛盾.若假设U<0,同样导致矛

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