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《电磁场与电磁波电子教案3
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 真空中静电场的基本方程
3.1.1场的基本方程
由亥姆霍兹定理,矢量场的散度和旋度决定其性质,因此,静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。
一、真空中静电场的散度 高斯定理
1、真空中静电场的散度
可以证明,真空中静电场的散度为
静电场高斯定理微分形式
说明:1)电场散度仅与电荷分布有关,其大小;
2)对于真空中点电荷,有
2、高斯定理
讨论:1)物理意义:静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量有关(场与所有电荷有关);
2)静电荷是静电场的散度源,激发起扩散或汇集状的静电场;
3)无电荷处,源的散度为零,但电场不一定为零。
二、真空中静电场的旋度 环路定理
当A点和B点重合时,
静电场环路定理的积分形式
由斯托克斯公式, 环路定理的微分形式
讨论:1)物理意义:在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周,静电场力做功为零 静电场为保守场;
2)静电场旋度处处为零,静电场中不存在旋涡场,电力线不构成闭合回路。
三、真空中静电场性质小结
1、 微分形式 积分形式
2、静电场性质:有源无旋场,是保守场
3、静电场的源:电荷
讨论:对于静电场,恒有
,而
为标量辅助函数
静电场可以由一标量函数的梯度表示。
补充内容:利用高斯定理求解静电场
求解关键:高斯面的选择
高斯面的选择原则:
场点位于高斯面上
高斯面为闭合面
在整个或分段高斯面上,或为恒定值。
适用范围:呈对程分布的电荷系统。
3.1.2电位函数
电位函数与电位差
电位函数
可用一标量函数表示
讨论:1)电位函数为电场函数的辅助函数,是一标量函数
2)“-”号表示电场指向电位减小最快的方向
3)在直角坐标系中,
电位差(电压)
电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。
电位差的计算:
电场空间中两点间电位差为:
说明:1)意义:A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所做的功;
2)两点间的电位差有确定值,只与首尾两点位置有关,与路径无关。
3、电位参考点
电位函数不唯一,导致电场分布具有不确定性
设
为使空间各点电位具有确定值,必须选定空间某一点作为参考点,且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值,所以该点的电位也就具有确定值。
选择电位参考点的原则:
应使电位表达式有意义;
应使电位表达式最简单;
同一个问题只能有一个参考点;
电位参考点的电位值一般为零。
电位函数的求解
点电荷的电位 Q
q p
选取Q点为电位参考点,则
若参考点Q在无穷远处,即,则
点电荷在空间产生的电位
说明:若电荷分布在有限区域,一般选择无穷远点为电位参考点。
无限长线电荷的电位
Q
p
电位参考点不能位于无穷远点,否则表达式无意义,根据表达式最简原则,选取柱面为电位参考点,即,得
无限长线电流在空间产生的电位
分布电荷在空间产生的电位
体电荷:
面电荷:
线电荷:
说明:若参考点在无穷远处,则 。
综上所述,电位是一标量
电位是一相对量,与参考点的选取有关
电位差是绝对的
引入电位函数的意义:简化电场的求解——间接求解法
在某些情况下,直接求解电场强度很困难,但求解电位函数则相对简单,因此可以通过先求解电位函数,再由关系得到电场解。
三、电位的微分方程
1、方程的建立
有源区
即 电位的泊松方程
无源区
电位的拉普拉斯方程
(不同坐标系下方程的表示略)
电位的边界条件
有
若 有
3.1.3 电容
一、电容
1、孤立导体的电容
定义:孤立导体所带电量与其电位之比,即
电容C 只与导体几何性质和周围介质有关,与q和无关;
例: 空气中半
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