《直线与圆的位置关系切线及三角形内切圆知识精讲.docVIP

初三数学直线与圆的位置关系 切线及三角形内切圆知识精讲 一. 本周教学内容： 直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆 ［学习目标］ 1. 直线为，⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d。 （1）直线与⊙O相离无公共点； （2）直线与⊙O相切，唯一公共点； （3）直线与⊙O相交，两公共点。 注意：①由直线与圆的位置关系数量关系 反之，数量关系位置关系； ②直线与圆的位置关系，d，r数量关系，公共点个数三者互相转化。 2. 重要公式： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，则： 即：AC·BC＝AB·CD（是求斜边上高的常用方法） 3. 切线的判定方法 ①定义法（不常用），即：唯一公共点； ②数量关系推理法，即； ③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。 4. 切线的性质： ①与判定均为互逆定理； ②其中性质定理及推论要熟练掌握。 实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意知道两个就能推出第三个。 5. 作图：作和已知三角形各边都相切的圆。 关键找内心，（各内角平分线交点）和半径。 6. 与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。 与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 7. 三角形的内切圆、圆心是角平分线交点，半径是圆心到三边的距离。 三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。 例1. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置不定 解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5， ∴， ∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°， ∴PQ⊥OP。 即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。 ∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。 点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 例2. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆： （1）相离；（2）相切；（3）相交。 点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。 解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D， ， ∴ （1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离； （2）当，即，也即时，AC与⊙O相切； （3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。 例3. 已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。 求证：AF＝DF； 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC。 ∵∠B＝∠CAE，∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE ∵∠ADE＝∠BAD＋∠B， ∴∠ADE＝∠DAE， ∴EA＝ED ∵DE是半圆C的直径， ∴∠DFE＝90° ∴AF＝DF 例4. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。 点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。 证明：连结OD。 ∵AD∥OC， ∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD ∴∠COB＝∠COD ∵CO为公用边，OD＝OB ∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC ∵BC是切线，AB是直径， ∴∠B＝90°，∠ODC＝90°， ∴CD是⊙O的切线。 点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。 例5. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。 求证：AC与⊙O相切。 点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。 证明：连结OD、OA。过O作OE⊥AC，垂足为E。 ∵AB＝AC，O为BC