《直线与平面平行和平面与平面平行.docVIP

直线与平面平行和平面与平面平行 高考要求 1掌握空间直线和平面的位置关系； 2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化 3掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义； 4掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化 知识点归纳 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:， （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． 符号表示为: ． 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式： 3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 推理模式： 4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的． 6．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行． 推理模式：：，，，，． 7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 推理模式： 8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：． 9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． 推理模式：． 题型讲解 例1 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE 证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ ∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ 又NQ= BN=CM=MP， ∴MPQN是平行四边形 ∴MN∥PQ，PQ平面BCE 而MN平面BCE， ∴MN∥平面BCE 证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG ∵MG∥BC，BC平面BCE， MG平面BCE， ∴MG∥平面BCE 又==， ∴GN∥AF∥BE， 同样可证明GN∥平面BCE 又面MG∩NG=G， ∴平面MNG∥平面BCE 又MN平面MNG∴MN∥平面BCE 点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行 例2 如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF∥平面ABCD 证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN ∵BB1⊥平面ABCD， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC ∴EM∥BB1，FN∥BB1∴EM∥FN 又B1E=C1F，∴EM=FN 故四边形MNFE是平行四边形 ∴EF∥MN又MN在平面ABCD中， ∴EF∥平面ABCD 证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连结GF，则= ∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴= ∴FG∥B1C1∥BC 又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B， ∴平面EFG∥平面ABCD而EF在平面EFG中， ∴EF∥平面ABCD 点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行 例3 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8 （1）求证：直线MN∥平面PBC； （2）求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值 （1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE ∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND 又∵BN∶ND=PM∶MA， ∴EN∶AN=PM∶MA ∴MN∥PE 又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC （2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角 设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角 由正棱锥的性质知PO== 由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE= 在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=， 根据余弦定理，得PE= 在Rt△POE中，PO=，PE=， ∴sin∠PEO== 点评：证线面平行，一般是转化为证线线平行求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角本题若直接求MN与平面ABCD所