上学期 2.4 反函数.doc

上学期 2.4 反函数 教学目标 　　1.使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法. 　　2.通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力. 　　3.通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观. 教学重点,难点 　　重点是反函数概念的形成与认识. 　　难点是掌握求反函数的方法. 教学用具 　　投影仪 教学方法 　　自主学习与启发结合法 教学过程 一. 揭示课题 　　今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数. 　　1.4. 反函数 　　反函数的概念 二.讲解新课 　　教师首先提出这样一个问题:在函数 中,如果把 当作因变量,把 当作自变量,能否构成一个函数呢?可以根据函数的定义在 的允许取值范围内的任一值,按照法则 都有唯一的 与之相对应. 　　学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即 有反函数,而且把这个函数称为 的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢? 　　由学生回答出应为 .教师再提出 它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用 表示自变量,用 表示因变量,故它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和 是同一函数吗? 　　由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把 叫做 的反函数.继而再提出: 有反函数吗？是哪个函数? 　　学生很快会意识到 是 的反函数,教师可再引申为 与 是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象 这样的函数,若将 当自变量, 当作因变量,在 允许取值范围内一个 可能对两个 (可画图辅助说明,当 时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数. 　　通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对 的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容. 1. 反函数的定义: 　　为了帮助学生理解,还可以把定义中的 换成某个具体简单的函数如 解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究. 2.对概念得理解 　　教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢? 　　学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把 与 的位置换位了,教师再追问它们的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论: 的定义域和值域分别由 的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”. 　　“三定” 　　然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中 与 的位置互换.如图 　　最后教师进 一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是 与 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”. 　　“三反” 　　此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数. 　　例1. 求 的反函数. 　　 　　解:由 得 , 所求反函数为 . 　　例2. 求 , 的反函数. 　　解:由 得 ,又 得 , 　　故所求反函数为 . 　　求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为 , . 　　教师可先明知故问 ,与 , 有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是 和 ,所以它们是不同的函数.再追问 从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来. 　　在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不