弹塑性力学2应变分量与协调方程剖析.ppt

由于外部因素 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。 —— 载荷或温度 位移—— 应变 M’(x’,y’,z’) M(x,y,z) 位移u，v，w是单值连续函数 进一步分析位移函数具有连续的三阶导数 一点的变形通过微分六面体单元描述 微分单元体的变形，分为两部分讨论 正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变 几何意义 正应变 几何方程 位移分量和应变分量之间的关系 几何方程又称柯西方程 微分线段伸长——正应变大于零 微分线段夹角缩小——切应变分量大于零 微小应变的几何解释 几何方程——位移导数表示的应变 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形 原因是没有考虑单元体位置的改变 ——单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产生变形。 变形通过应变描述 坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。 应变分量的转轴公式 应变张量 主应变与主应变方向 应变状态—— 应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。 体积应变 ——弹性体一点体积的改变量 引入体积应变有助于 简化公式 解释 协调方程 数学意义： 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量描述 力学意义——变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束 例1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 解： 显然该应变分量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。 要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。 从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则 对x求一阶偏导数，则 分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则 应变协调方程 ——圣维南 （Saint Venant）方程 变形协调方程的数学意义 使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。 证明——应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。 变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。 目标——如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。 利用位移和转动分量的全微分，则 轮换x , y, z，可得du，dv和dwy，dwz 如通过积分，计算出 是单值连续的，则问题可证。 保证单值连续的条件是积分与积分路径无关 根据格林公式 回代 回代到第四式 wx单值连续的必要与充分条件是 同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式——变形协调方程。 由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。 变形协调方程—— 单连通域位移单值连续的必要和充分条件 多连通域位移单值连续的必要条件 充分条件是位移的连续补充条件