微积分上第二章D1_2数列的极限剖析.ppt

第二节 一 、数列极限的定义 定义: 例如, 例1. 已知 例2. 已知 例3. 设 二、收敛数列的性质 例4. 证明数列 2. 收敛数列一定有界. 3. 收敛数列具有保号性. 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 三、极限存在准则 1. 夹逼准则 (准则1) (P50) 例5. 证明 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ) 例6. 设 根据准则 2 可知数列 *3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55) 内容小结 思考与练习 作业 备用题 2. 设 刘徽(约225 – 295年) 柯西(1789 – 1857) 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 数列的极限 数学语言描述: 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, 无限逼近 S . 当 n N 时, 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 (刘徽割圆术) 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 趋势不定 收 敛 发 散 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为0 . 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾, 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有 因此该数列发散 . 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立. 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 若 且 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 则 则 ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如， 发散 ! 夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 . 则原数列一定发散 . 说明: 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 证: 利用夹逼准则 . 且 由 ( 证明略 ) 证明数列 极限存在 . (P53～P54) 证: 利用二项式公式 , 有 大 大 正 又 比较可知 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 又 内容小结 数列 极限存在的充要条件是: 存在正整数 N , 使当 时, 证: “必要性”. 设 则 时, 有 使当 因此 “充分性” 证明从略 . 有 柯西 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; *柯西准则 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 , 求 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设 由递推式两边取极限得 不对! 此处 P30 1, *3 (2) , *4 P56 4 (1) , (3) 4 (3) 提示: 可用数学归纳法证 第三节 故极限存在， 1.设 , 且 求 解： 设 则由递推公式有 ∴数列单调递减有下界， 故 利用极限存在准则 证: 显然 证明下述数列有极限 . 即 单调增, 又 存在 “拆项相消” 法 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重 差》对《九章算术