3.1回归分析的基本思想及其初步应用详解.ppt

思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？ 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 2．回归分析 回归分析是对具有 的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 3．线性回归模型 (1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b为未知参数，e为 ． (2)解释变量和预报变量 线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e，因变量y由 和 共同确定，即自变量x只解释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量． 3．刻画回归效果的方式 【例1】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示： (1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析． [思路探索] 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄． [自主解答] (1)散点图如图 相关系数 相关系数的性质 (1)|r|≤1． (2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱． 注:b 与 r 同号 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？ 误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性， 都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。 误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与 随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。 残差――与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。 显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。 在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。 R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的 线性相关性越强）。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。 注：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表 自变量刻画预报变量的能力。 （2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是 相关系数 ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常： r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱; 对r进行显著性检验 一般地，建立回归模型的基本步骤为： （1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。 （2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。 （3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）. （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。 （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。 问题：归纳建立回归模型的基本步骤 问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？ （分析例3） 例3 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中： 温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325 （1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 选变量 解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。 画散点图 假设线性回归方程为 ：?=bx+a 选 模 型 分析和预测 当x=28时，y =19.87×28-463.73≈ 93 估计参数 由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73 相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464 所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。 0 50 10