§1—2随机误差的正态分布摘要.ppt

例1-2 在消除了系统误差的情况下，某土壤 试样中有机质的含量经多次测定，获得总体 平均值为2.64%。若σ=0.1%， 求⑴分析结果落在(2.64±0.20)%区间的概率; ⑵分析结果大于2.90%的概率. * §1—2 随机误差的正态分布 一、频率分布（p83） 相同条件下，对一合金中铁的质量分数进行重复测定,得到100个测量值。 对这些测量值进行整理, 分析: 算出极差 R=0.29 ，将100个测量值由小到大排列, 分为10组,每组组距为0.03。 统计各组频数、相对频数（频率）、频率密度 频率密度=频率/组距 做图 频率密度直方图和频率密度多边形 测定值随机分布特点： 离散性、集中趋势 a b. ? ? x y ?-? ?+ ? ? 0 X-? 若测量次数n→?,组分得非常多,则直方图形状将逐渐趋于一条平滑的曲线,即正态分布曲线，且测量值具有明显的向中心集中的趋势. 对高斯方程的理解: 在无限多次测量中，某单一测量值xi出现的概率密度。 二、正态分布 大量不含系统误差的测量数据一般遵从正态分布(高斯分布) 1.正态分布曲线的数学表达式 ——高斯方程 正态分布曲线是高斯方程的形象化表示 由高斯方程数学计算得曲线上两拐点: a. b. a b. ? ? x y ?-? ?+ ? ? 0 X-? 2.正态分布曲线的讨论 特点: （1）y极大值在 x = μ 处； 于x = μ 对称； x 轴为渐近线. y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准偏差 表示为N(?,? 2) （2）拐点在 x = μ ± σ 处. （1）测定值的正态分布 对称性: 曲线以x =?这条直线为对称轴. 表明测量数据具有明显的向 总体平均值?集中的趋势； ? 决定正态分布曲线的中心位置。 测量值出现正,负误差的机会相等. 单峰性: x =?时,y值最大,表现为一个峰形. σ决定正态分布曲线的形状； σ越小，数据越集中，测定值落在 ? 附近的概率越大。 当 σ ，μ 确定，正态分布曲线的位置和形状也确定， σ ，μ 为正态分布的基本参数， 正态分布用N(?,? 2)表示 ?—决定曲线的中心位置，代表数据集中趋势， ?--决定曲线形状，代表数据分散程度 ?1=??2 ?1?2 ?2?1，? 2=? 2 因此,实际测量结果总是被限制在一定范围内波动,是有界的. 测量值远离? 的概率小 ,即大误差的测量值出现机会少,极大误差测量值出现机会微乎其微。 有界性: 在没有系统误差存在下,? 为真值. 对于同一总体，测量值的分布， 一般符合正态分布的规律和特点。 1.小误差出现的概率大, 大误差出现的概率小, 特大误差概率极小; 2.正、负误差出现的概率相等. 正态分布曲线定量意义： 某段曲线下的面积则为概率. （2）随机误差的正态分布（符合统计规律） ?小误差出现的概率大，大误差出现的概率小；特别大的误差出现的概率极小。 ?正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。 （2）随机误差的正态分布 总体标准偏差? 相同，总体平均值?不同 总体平均值?相同，总体标准偏差?不同 原因： 1、总体不同 2、同一总体，存在系统误差 原因： 同一总体，精密度不同 （3）标准正态分布 ——标准正态分布曲线方程 正态分布曲线—→标准正态分布曲线， 位置与形状完全相同。 任何一种正态分布（μ,? 2)都可以通过参数（μ，σ）代换转换为： 标准正态分布N（0，1）。 标准正态分布曲线下(u从+∞到-∞)的面积 为同一总体的全部测定值或随机误差 在这一区间出现的概率总和： 即 同理，由标准正态分布曲线方程还可求得在无限多次测量中，某一范围内测量值或随机误差出现的机会（概率）的最终趋势是多少. 68.3% 95.5% 99.7% u -3s -2s -s 0 s 2s 3s x-m m-3s m-2s m-s m m+s m+2s m+3s x y 标准正态分布曲线 N (0,1) 由于高斯方程的表达式较复杂，积分计算非常麻烦，且不易求解 导出y随u变化方程 ? 令 即标准正态方程 某测量值和其对应的u在各自微小区域内出现的概率应完全相等。 x 在 ? ? ? 区间, 查 u= ? 1