菱形的性質和判定.docVIP

1.3 菱形的性质和判定 【学习目标】 1、会识别菱形； 2、掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题； 3、会用菱形的知识解决有关问题 重点：菱形的性质和判定定理 难点：菱形性质的灵活运用 【知识梳理】 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．．三角形的中位线 中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线． 也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质． 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半． 菱形的性质 【例1】 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则 度． 如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是． 如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于， 证明：与互相平分． ⑴如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ． ⑵菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ． ⑶如图2，在菱形中，，，则菱形的边长为（ ） A． B． C． D． ⑷如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（ ） A． B． C． D． 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例6】⑴、 菱形中，、分别是、的中点，且，，那么等 于 ． ⑵已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ． ⑶如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A． B． C． D． ⑷ 如图，菱形花坛的周长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积． 【例7】已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数． 【例8】已知，菱形中，、分别是、上的点，且，．求：的度数． 如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ． 如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，．当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由． 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证：四边形是菱形. 【例12】如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形． 【例13】已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论． 如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形． 【例15】如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形． 已知，如图中，于，，于，、交于．求证：四边形是菱形． 如图，、、均为直线同侧的等边三角形．已知． ⑴顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件． ⑵当为 度时，四边形为正方形． 是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置 ⑴、画出平移后的三角形； ⑵、连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长； ⑶、当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？为什么？ 【例19】已知等腰中，，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结. ⑴求证四边形为菱形 ⑵当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ．中，在上，点在上，则的最小值