《统计学的几个概念.docVIP

一 统计学的几个概念 1、总体和个体： 在统计学中，研究对象的全体称为总体；组成总体的每个单位，即每个研究对象称为个体； 总体中所包含的个体的数量------总体容量； 容量有限-----有限总体； 容量无限-------无限总体 2、样本： 从总体中抽出的部分个体组成的集合称为称为来自总体的样本。通常样本是相互独立且与总体同分布； 样本中所含个体的数量称为样本容量。 一般地：设是一个随机变量，是一组相互独立且与同分布的随机变量，则称是总体，为来自总体的简单随机样本，简称：样本，为样本容量。 3、统计量 定义：设为来自总体的简单随机样本， 是一个关于的连续函数,若中不含 任何未知参数,则称是一统计量. 常见的统计量有: ①样本平均值: = ②样本方差: 备注: 叫做未修正的样本方差;称为修正的样本方差,平时若未特别标明,样本方差均指修正的 有较简单的计算公式: 证明: ③样本标准差: ④样本阶原点矩: ⑤样本阶中心矩: 二、抽样分布 统计量的分布叫做抽样分布. 1.样本均值的分布: 由中心极限定理可知: 只要是相互独立且同分布的(设 =),则 当充分大时,就可近似的服从正态分布. 即~ 应用举例: 例1 设~,是来自的一个样本, 是样本均值,求和 解: 因为~,所以, 故=,= 例2 设总体~，是一个样本， 是样本均值,，求①设，求 ②要使，至少应等于多少？ 解： 例3 设与相互独立，而且都服从，和 是分别来自与的样本，求的概率？ 解： 结论：若（）是来自总体的一个样本，为 样本均值，则 ① ②与相互独立。（结论在分布的结论中） 2、分布 1）定义:设（）是来自总体 的一个样本，则称统计量：所服从的分布是自由度为的分布， 记作：。 的概率密度函数为： ， 其中:， 备注：称作函数，函数有数值表可查，并且： ， 事实上，（分布在第三章例3 中有定义） 2)分布的性质 ①分布的可加性： 设，，且与相互独立，则： + ②若，则，， 证明：因为，则：，， 所以：； 3)结论： 设（）为来自总体的一个样本，,为已知常数，则： I)统计量 （当=0时也成立） 事实上，令，则，所以 II)样本均值与样本方差相互独立，且统计量 。 例4．设 是来自正态总体的简单随机抽样，记： ，问当各取何值时，统计量服从分布，其自由度如何？ 解： 3、-1)定义:设，，且与相互独立，则称统计量： 所服从的分布是自由度为的分布，记为，分布又称为学生氏（Student）分布。 分布的概率密度函数为： 。 2)分布的特点（性质）。 I、关于=0对称； II、在=0达最大值； III、的轴为水平渐近线； IV、；即时，分布，一般地，当30时，分布与非常接近。 V、当较小时，分布与有较大的差异，且对有 ，其中。 即分布的尾部比的尾部具有更大的概率。 VI、若，则 时， 3)结论： I)设（）是来自总体的一个样本，则统计量： ， 事实上，由，又，且与相互独立，则与相互独立，由分布的定义，所以 II)设（）的一个样本，（是来自总体的一个样本，且与相互独立，当时，则统计量 , 其中，， ， 事实上，，，且与相互独立，所以: ，即：； 又，，且它们相互独立，由分布的可加性，则。由分布的定义： 服从 例5 假设总体服从，是来自总体的简单随机抽 样，求统计量：的概率分布 4、-分布 1)定义：设，，且与相互独立，则称统计量服从自由度为的分布，记作：，其中：为第一自由度，为第二自由度。 由定义，若，则。 的概率密度函数为： 说明：先求出 的联合密度函数，再令，求出（）的联合，注意到独立，所以的边缘密度函数，也即的密度函数。 2)分布的性质（特点） Ⅰ.密度曲线不对称(偏态) Ⅱ.若，则 Ⅲ.当时， 当时，， 注:(利用) 3)结论： 设（）的一个样本，（是来自总体的一个样本，且与相互独立，则。 事实上，，， 由分布的定义，可得 , 其中，； 三、分位数 1. 定义： 设随机变量的分布函数为，对于给定的正数，若有满足，则称为的（下侧）分位数(或分位点)。 2.表示方法： ①.的分位数满足：。 由标准正态分布的对称性可知：。 ②.分布的分位数 满足:， 或定义：，即由附表查其值 当时，或。 例如： ③.分布的分位数满足：，即 由附表5可查出其值。由于时，分布接近于，所以当时，可查分布分位数表。由分布的对称性可知：。 它的双侧分位点（即满足）与上侧分位点的关系： 例如： ④.分布的分位数满足：，由分布性