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《统计学的几个概念
一 统计学的几个概念
1、总体和个体:
在统计学中,研究对象的全体称为总体;组成总体的每个单位,即每个研究对象称为个体;
总体中所包含的个体的数量------总体容量;
容量有限-----有限总体; 容量无限-------无限总体
2、样本:
从总体中抽出的部分个体组成的集合称为称为来自总体的样本。通常样本是相互独立且与总体同分布;
样本中所含个体的数量称为样本容量。
一般地:设是一个随机变量,是一组相互独立且与同分布的随机变量,则称是总体,为来自总体的简单随机样本,简称:样本,为样本容量。
3、统计量
定义:设为来自总体的简单随机样本,
是一个关于的连续函数,若中不含
任何未知参数,则称是一统计量.
常见的统计量有:
①样本平均值: =
②样本方差:
备注: 叫做未修正的样本方差;称为修正的样本方差,平时若未特别标明,样本方差均指修正的
有较简单的计算公式:
证明:
③样本标准差:
④样本阶原点矩:
⑤样本阶中心矩:
二、抽样分布
统计量的分布叫做抽样分布.
1.样本均值的分布:
由中心极限定理可知: 只要是相互独立且同分布的(设
=),则 当充分大时,就可近似的服从正态分布.
即~
应用举例:
例1 设~,是来自的一个样本, 是样本均值,求和
解: 因为~,所以,
故=,=
例2 设总体~,是一个样本, 是样本均值,,求①设,求
②要使,至少应等于多少?
解:
例3 设与相互独立,而且都服从,和
是分别来自与的样本,求的概率?
解:
结论:若()是来自总体的一个样本,为
样本均值,则
①
②与相互独立。(结论在分布的结论中)
2、分布
1)定义:设()是来自总体 的一个样本,则称统计量:所服从的分布是自由度为的分布,
记作:。
的概率密度函数为: ,
其中:,
备注:称作函数,函数有数值表可查,并且: ,
事实上,(分布在第三章例3 中有定义)
2)分布的性质
①分布的可加性:
设,,且与相互独立,则:
+
②若,则,,
证明:因为,则:,,
所以:;
3)结论:
设()为来自总体的一个样本,,为已知常数,则:
I)统计量 (当=0时也成立)
事实上,令,则,所以
II)样本均值与样本方差相互独立,且统计量
。
例4.设 是来自正态总体的简单随机抽样,记:
,问当各取何值时,统计量服从分布,其自由度如何?
解:
3、-1)定义:设,,且与相互独立,则称统计量:
所服从的分布是自由度为的分布,记为,分布又称为学生氏(Student)分布。
分布的概率密度函数为: 。
2)分布的特点(性质)。
I、关于=0对称;
II、在=0达最大值;
III、的轴为水平渐近线;
IV、;即时,分布,一般地,当30时,分布与非常接近。
V、当较小时,分布与有较大的差异,且对有
,其中。
即分布的尾部比的尾部具有更大的概率。
VI、若,则 时,
3)结论:
I)设()是来自总体的一个样本,则统计量:
,
事实上,由,又,且与相互独立,则与相互独立,由分布的定义,所以
II)设()的一个样本,(是来自总体的一个样本,且与相互独立,当时,则统计量
,
其中,,
,
事实上,,,且与相互独立,所以:
,即:;
又,,且它们相互独立,由分布的可加性,则。由分布的定义:
服从
例5 假设总体服从,是来自总体的简单随机抽
样,求统计量:的概率分布
4、-分布
1)定义:设,,且与相互独立,则称统计量服从自由度为的分布,记作:,其中:为第一自由度,为第二自由度。
由定义,若,则。
的概率密度函数为:
说明:先求出 的联合密度函数,再令,求出()的联合,注意到独立,所以的边缘密度函数,也即的密度函数。
2)分布的性质(特点)
Ⅰ.密度曲线不对称(偏态)
Ⅱ.若,则
Ⅲ.当时,
当时,,
注:(利用)
3)结论:
设()的一个样本,(是来自总体的一个样本,且与相互独立,则。
事实上,,,
由分布的定义,可得
,
其中,;
三、分位数
1. 定义:
设随机变量的分布函数为,对于给定的正数,若有满足,则称为的(下侧)分位数(或分位点)。
2.表示方法:
①.的分位数满足:。
由标准正态分布的对称性可知:。
②.分布的分位数 满足:,
或定义:,即由附表查其值
当时,或。
例如:
③.分布的分位数满足:,即
由附表5可查出其值。由于时,分布接近于,所以当时,可查分布分位数表。由分布的对称性可知:。
它的双侧分位点(即满足)与上侧分位点的关系:
例如:
④.分布的分位数满足:,由分布性
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