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《统计学的几个概念

一 统计学的几个概念 1、总体和个体: 在统计学中,研究对象的全体称为总体;组成总体的每个单位,即每个研究对象称为个体; 总体中所包含的个体的数量------总体容量; 容量有限-----有限总体; 容量无限-------无限总体 2、样本: 从总体中抽出的部分个体组成的集合称为称为来自总体的样本。通常样本是相互独立且与总体同分布; 样本中所含个体的数量称为样本容量。 一般地:设是一个随机变量,是一组相互独立且与同分布的随机变量,则称是总体,为来自总体的简单随机样本,简称:样本,为样本容量。 3、统计量 定义:设为来自总体的简单随机样本, 是一个关于的连续函数,若中不含 任何未知参数,则称是一统计量. 常见的统计量有: ①样本平均值: = ②样本方差: 备注: 叫做未修正的样本方差;称为修正的样本方差,平时若未特别标明,样本方差均指修正的 有较简单的计算公式: 证明: ③样本标准差: ④样本阶原点矩: ⑤样本阶中心矩: 二、抽样分布 统计量的分布叫做抽样分布. 1.样本均值的分布: 由中心极限定理可知: 只要是相互独立且同分布的(设 =),则 当充分大时,就可近似的服从正态分布. 即~ 应用举例: 例1 设~,是来自的一个样本, 是样本均值,求和 解: 因为~,所以, 故=,= 例2 设总体~,是一个样本, 是样本均值,,求①设,求 ②要使,至少应等于多少? 解: 例3 设与相互独立,而且都服从,和 是分别来自与的样本,求的概率? 解: 结论:若()是来自总体的一个样本,为 样本均值,则 ① ②与相互独立。(结论在分布的结论中) 2、分布 1)定义:设()是来自总体 的一个样本,则称统计量:所服从的分布是自由度为的分布, 记作:。 的概率密度函数为: , 其中:, 备注:称作函数,函数有数值表可查,并且: , 事实上,(分布在第三章例3 中有定义) 2)分布的性质 ①分布的可加性: 设,,且与相互独立,则: + ②若,则,, 证明:因为,则:,, 所以:; 3)结论: 设()为来自总体的一个样本,,为已知常数,则: I)统计量 (当=0时也成立) 事实上,令,则,所以 II)样本均值与样本方差相互独立,且统计量 。 例4.设 是来自正态总体的简单随机抽样,记: ,问当各取何值时,统计量服从分布,其自由度如何? 解: 3、-1)定义:设,,且与相互独立,则称统计量: 所服从的分布是自由度为的分布,记为,分布又称为学生氏(Student)分布。 分布的概率密度函数为: 。 2)分布的特点(性质)。 I、关于=0对称; II、在=0达最大值; III、的轴为水平渐近线; IV、;即时,分布,一般地,当30时,分布与非常接近。 V、当较小时,分布与有较大的差异,且对有 ,其中。 即分布的尾部比的尾部具有更大的概率。 VI、若,则 时, 3)结论: I)设()是来自总体的一个样本,则统计量: , 事实上,由,又,且与相互独立,则与相互独立,由分布的定义,所以 II)设()的一个样本,(是来自总体的一个样本,且与相互独立,当时,则统计量 , 其中,, , 事实上,,,且与相互独立,所以: ,即:; 又,,且它们相互独立,由分布的可加性,则。由分布的定义: 服从 例5 假设总体服从,是来自总体的简单随机抽 样,求统计量:的概率分布 4、-分布 1)定义:设,,且与相互独立,则称统计量服从自由度为的分布,记作:,其中:为第一自由度,为第二自由度。 由定义,若,则。 的概率密度函数为: 说明:先求出 的联合密度函数,再令,求出()的联合,注意到独立,所以的边缘密度函数,也即的密度函数。 2)分布的性质(特点) Ⅰ.密度曲线不对称(偏态) Ⅱ.若,则 Ⅲ.当时, 当时,, 注:(利用) 3)结论: 设()的一个样本,(是来自总体的一个样本,且与相互独立,则。 事实上,,, 由分布的定义,可得 , 其中,; 三、分位数 1. 定义: 设随机变量的分布函数为,对于给定的正数,若有满足,则称为的(下侧)分位数(或分位点)。 2.表示方法: ①.的分位数满足:。 由标准正态分布的对称性可知:。 ②.分布的分位数 满足:, 或定义:,即由附表查其值 当时,或。 例如: ③.分布的分位数满足:,即 由附表5可查出其值。由于时,分布接近于,所以当时,可查分布分位数表。由分布的对称性可知:。 它的双侧分位点(即满足)与上侧分位点的关系: 例如: ④.分布的分位数满足:,由分布性

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