《连续函数的性质.docVIP

§2.2 连续函数的性质 ? 连续函数的局部性质 若函数在点连续，则在点有极限，且极限值等于函数值。从而，根据函数极限的性质能推断出函数在的性态。 定理1（局部有界性） 若函数在点连续，，则在某内有界。 定理2（局部保号性） 若函数在点连续，且（或），则对任何正数（或），存在某，使得对一切有（或）。 注： 在具体应用局部保号性时，常取，则当时，存在某，使在其内有。 定理3（四则运算） 若函数和在点连续，则（这里）也都在点连续。 关于复合函数的连续性，有如下定理: 定理4 若函数在点连续，在点连续，，则复合函数在点连续。 证明：由于在点连续，，使得当时有 。 （1） 又由及在点连续，故对上述，存在，使得当时有，联系（1）式得:对任给的，存在，使得当时有 。 这就证明了在点连续。 注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为 定理5 存在的充要条件是与存在并且相等． 证明：必要性显然，仅须证充分性．设，从而对任给的，存在和，当 时， 　 ① 当 －时， ② 取时，当时，则和 二者必居其一，从而满足①或②，所以 ． 定理6 函数在点连续的充要条件是左连续且右连续． 证明：在点连续即为．注意左连续即为，右连续即为，用定理5即可证． 此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题． 定理7　海涅（）定理：存在的充分必要条件是对任给的序列，若满足（），则有存在． 分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法． 证明：必要性。设，则对任给的，存在，当时， ① 设（），则存在，当时，，从而满足 ①，即，亦即． 充分性。　（１）　先证若（），，则 ． 取　则，从而 存在且 ． 于是对任给的序列，若（），则存在且极限值与的选取无关，记为． (2)　证明（反证法），若，则有，对任给的，总有满足且使得． 取，则有满足，使得 取，则有满足，使得 ， …　… 　　　　取，则有满足，使得 ， …　… 由此可以找到满足（），且 ， 　　　　　即此时　，这与（１）的结论矛盾． ? 闭区间上连续函数的基本性质 设为闭区间上的连续函数，本段中我们讨论在上的整体性质。 定义1：设为定义在数集D上的函数。若存在，使得对一切有, 则称在D上有最大值（最小值），并称为在D上的最大值（最小值）。 例如，在上有最大值1，最小值0。但一般而言，函数在其定义域D上不一定有最大值或最小值（即使在D上有界）。如在上既无最大值也无最小值。又如 它在闭区间上也无最大、最小值。 下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件。 定理8（最大、最小值定理） 若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值；或称函数在上达到最大值． 分析：设，则问题所要证的是存在，有． 证明：设，则对任给的，有，使得． 由有界，按致密性定理（问题），从而可选取的子序列，，，一方面，得 ，另一方面由连续性，由此． 同理，我们可证，上的连续函数在上可达到最小值．此外，这里（１,２,…）按极限的保序性有． 例1：设为有界闭区间上一连续函数列，且 　　　　　……， 　　　　　处处存在． 试证在上必有最大值． 证明：在上连续，故有界，从而存在 ，使，，从而，． 令，则为有限数，对任给的有，.又是有界数列,则有收敛子列,设其极限为,即,于是 . 再令,,从而. 这里证明的关键是用有界数列的致密性定理. 推论1 （有界性定理） 若函数在闭区间上连续，则在上有界。 定理9 （介值性定理） 设函数在闭区间上连续，且。若为介于与之间的任何实数（或），则至少存在一点使得。 （此定理的证明用如下的“根的存在定理”来说明） 这个定理表明，若在上连续，又不妨设，则在上必能取得区间中的一切值，即有。 推论2（根的存在定理） 若函数在闭区间上连续，且与异号，则至少存在一点使得。即方程在内至少有一个根。 证明：下面去说明：若在闭区间上连续，且 0， 0，则必存在，使得。 记集合 ，易知；由于E 有下界 ，故必有下确界，记为， 故对，有，对此式两边取极限，由于在上连续，因此有。 这样，就有。故可在E中选取一个数列，使。且对这些，也满足，在此式两边对取极限，则有。 故，证完。 例2 设在上连续，满足。证明: 存在，使得。 证明： 条件意味着:对任何有，特别有及。若或，则取或，从而式成立。现设与。令，则。故由根的存在性定理，存在，使得，即。 例3 证明任何一个一元三次方程至少有一个实根. 证明: 设， ∵ ， ， ∴ 根据保号性，使得，∵在上连续，且，∴至少存在一点使得，即方程至少有一个实根. 注: 任意实系数奇次多