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2011年长郡中学高二一期期末复习试卷------空间向量与立体几何(教师版)
2011年长郡中学高二一期期末复习试卷
------空间向量与立体几何
班级:__________姓名:_______________
【提前练习】
选择题:
1、在下列命题中:
①若向量共线,则向量所在的直线平行;
②若向量所在的直线为异面直线,则向量一定不共面;
③若三个向量两两共面,则向量共面;
④已知是空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得;其中正确的命题的个数是 ( A )
A.0 B.1 C.2 D.3
2、已知( A )
A. B.5,2 C. D.-5,-2
3、已知均为单位向量,它们的夹角为60?,那么等于( C )
A. B. C. D.4
4、设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
则△BCD是( C )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定
5、已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是( D )
A. B.
C. D.
二、填空题
6、已知空间四边形,点分别为的中点,且,用,,表示,则=_______________
7、若向量,则__________________
8、已知是空间二向量,若的夹角为 .
可求得,从而计算=
答案:
9、在棱长为的正方体中,分别是的中点, 直线与平面所成角的余弦值为 _______
10、若异面直线所成角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为1,2的两点,当时,线段AB的长为 .
由,得
(1)当时,有,得;
(2)当时,有,得
三、解答题
11、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P:PA=DQ:QB=5:12,
求线段PQ的长度;
求证PQ⊥AD;
求证:PQ//平面CDD1C1.
解:以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1,所以D(0,0,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),A(1,0,0),∵P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P:PA=DQ:QB=5:12,∴P,Q(),∴,所以
(1)∴;
(2)∵,∴,∴PQ⊥AD;
(3)∵,,∴,又平面CDD1C1,PQ平面CDD1C1,∴PQ//平面CDD1C1;
12、已知四棱锥的底面为直角梯形,,底面,且,,是的中点。
(Ⅰ)证明:面面;
(Ⅱ)求与所成角的余弦值;
(Ⅲ)求面与面所成二面角的大小余弦值。
证明:以为坐标原点长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
.
(Ⅰ)证明:因
由题设知,且与是平面内的两条相交直线,由此得面.又在面上,故面⊥面.
(Ⅱ)解:因
(Ⅲ)解:在上取一点,则存在使
要使
为
所求二面角的平面角.
13、如图,正四棱柱中,底面边长为2,侧棱长为3,E为BC的中点,FG分别为、上的点,且CF=2GD=2.求:
(1)到面EFG的距离;
(2)DA与面EFG所成的角的正弦值;
(3)在直线上是否存在点P,使得DP//面EFG?,
若存在,找出点P的位置,若不存在,试说明理由。
解:以D为原点建立空间直角坐标系
则E(1,2,0),F(0,2,2),G(0,0,1)
∴=(-1,0,2),=(0,-2,-1),
设=(x,y,z)为面EFG的法向量,则
=0,=0,x=2z,z=-2y,取y=1,
得=(-4,1,-2)
(1)∵=(0,0,-1),
∴C’到面EFG的距离为
(2)=(2,0,0),设DA与面EFG所成的角为θ,
则=
(3)存在点P,在B点下方且BP=3,此时P(2,2,-3)
=(2,2,-3),∴=0,∴DP//面EFG
【随堂复习】
解答题:
例1、如图,四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面ABCD,AD=PD,E,F分别CD、PB的中点.
(Ⅰ)求证:EF平面PAB;
(Ⅱ)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的大小正弦值.
(Ⅰ)证明:建立空间直角坐标系(如图),设AD=PD=1,AB=(),则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), .得,,
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