《陀螺仪原理、近似理论.docxVIP

1、陀螺的概念绕一个支点高速转动的刚体称为陀螺 (top)。通常所说的陀螺是特指对称陀螺，它是一个质量均匀分布的、具有轴对称形状的刚体，其几何对称轴就是它的自转轴。在一定的初始条件和一定的外在力矩作用下，陀螺会在不停自转的同时，还绕着另一个固定的转轴不停地旋转，这就是陀螺的旋进(precession)，又称为回转效应(gyroscopic effect)。2、陀螺的稳定性和进动性陀螺在不旋转的时候和普通物体一样，而当它高速旋转的时候，则具有一个明显的特征：能稳定的立在地面上不倒，如玩具“地转子”。这种特性就是陀螺的稳定性 - 当陀螺高速旋转时，可以保持其动量矩矢量在空间方位不变。当陀螺高速旋转时，若给陀螺施加外力矩，会引起陀螺转子相对惯性空间的转动，这种特性即为陀螺的进动性 - 当外力试图使陀螺发生倾斜时，陀螺并不沿外力的方向倒下，而是按转子的转向沿偏转 90°的方向倒下。3、陀螺仪的原理我们不用一个完整的轮框，我们用四个质点ABCD来表示边上的区域，这个边对于用图来解释陀螺仪的工作原理是很重要的。轴的底部被托住静止但是能够各个方向旋转。当一个倾斜力作用在顶部的轴上的时候，质点A向上运动，质点C则向下运动，如其中的子图1。因为陀螺仪是顺时针旋转，在旋转90度角之后，质点A将会到达质点B的位置。CD两个质点的情况也是一样的。子图2中质点A当处于如图的90度位置的时候会继续向上运动，质点C也继续向下。AC质点的组合将导致轴在子图2所示的运动平面内运动。一个陀螺仪的轴在一个合适的角度上旋转，在这种情况下，如果陀螺仪逆时针旋转，轴将会在运动平面上向左运动。如果在顺时针的情况中，倾斜力是一个推力而不是拉力的话，运动将会向左发生。在子图3中，当陀螺仪旋转了另一个90度的时候，质点C在质点A受力之前的位置。C质点的向下运动现在受到了倾斜力的阻碍并且轴不能在倾斜力平面上运动。倾斜力推轴的力量越大，当边缘旋转大约180度时，另一侧的边缘推动轴向回运动。图1 陀螺仪原理示意图4、陀螺仪的近似理论陀螺运动是刚体动力学中有趣的问题之一。日常见到的陀螺玩具就是一例。当陀螺静止立在地面上时，稍有一点干扰，陀螺在重力作用下就会倒下。但当陀螺绕其对称轴高速转动时，即使对称轴偏离铅垂线，陀螺将绕铅垂线进动，并不会倒下。陀螺在工程技术中具有广泛的应用。如图2中的回转仪，为一匀质转子用内外两层悬架支承，三轴交于一点，此点恰好为转子的重心，转子以高速自转。这种陀螺不受外力矩作用，运动时具有很高的稳定性。可用来作为飞行器的惯性导航或控制系统中的方向控制。图2 回转仪图3为一做定点运动的陀螺，图中z1轴为陀螺的自转轴，为其自转角速度，为其进动角速度。一般有。因此，在计算陀螺对固定点O 的动量矩时忽略由于进动角速度引起的动量矩分量。陀螺对O 点的动量矩可近似地表示为：动量矩矢量方向近似与自转轴重合，大小等于。图3 高速转动转子的动量矩计算4.1 赖柴尔（Resal）定理如图4所示，质系对固定点的动量矩LO 可用一矢量OA 表示，在外力系作用下，质系的动量矩随时间变化，矢量的端点OA 在空间画出一矢端图。动量矩对时间的一阶导数等于A 点沿矢端图运动的速度uA ，由质系动量矩定理知即：质系对固定点的动量矩矢量端点的速度等于外力系对同一点的主矩。这称为赖柴尔定理。实际上赖柴尔定理是质系动量矩定理的几何解释。图4 动量矩定理的几何解释4.2 下面用赖柴尔定理解释陀螺运动的某些特性4.2.1自由陀螺保持自身对称轴在惯性参考系中的方位不变。如图4(a)所示陀螺，由固定圆环中的两个可动圆环支持，以保持其质心O 不动。若不计摩擦，外力对质心O 的力矩为零，这种陀螺称为自由陀螺。由于，得　　　　=常矢量现代工程技术中，这一性质得到广泛的应用。如可用自由陀螺作为导向系统的定向元件。如图4(b)图4 自由陀螺4.2.2陀螺的规则进动图5所示陀螺，当对称轴偏离铅垂线时，重力对固定点的矩其中rC 为重心C 的矢径。根据赖柴尔定理，动量矩矢量端点的速度uA 等于重力W 对于O 点的矩，即方向垂直于平面zOz1 ,大小等于，因不变，故矢量端点A 作匀速圆周运动，或者说，对称轴Oz1绕铅垂轴Oz 以匀角速度进动，称为进动角速度。当对称轴Oz1与固定轴之间的夹角为常数时，这种运动称为规则进动。由上式看出，自转角速度愈大时，进动角速度愈小，陀螺近似理论的精确度也就愈高。图5 陀螺仪的规律进动4.2.3陀螺力矩和陀螺效应设转子以角速度绕对称轴Oz 高速转动，如图6所示，其动量矩矢量也沿Oz 轴。如果转子安装在飞机、轮船或其他物体上，当对称轴被迫在空间改变方向时，如以角速度绕y 轴转动，则动量矩矢量端点获得速度：根据赖柴尔定理，可求得作用于转子上的外力系对于O 点的主矩为是由轴承的动约束力F1和F2