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三年级奥数-高斯求和摘要

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:   1+2+3+4+…+99+100=?   老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现: 1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。   1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为   (1+100)×100÷2=5050。   小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:    和=(首项+末项)×项数÷2。  例1: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =?   分析与解:这串加数1,2,3,…,10是等差数列,首项是1,末项是10,共有10个数。由等差数列求和公式可得    1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =(1+10)×10÷2 =55    注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。  例2: 1+2+3+4+5+……+99 =?   分析与解:这串加数1,2,3,…,99是等差数列,首项是1,末项是99,共有99个数。由等差数列求和公式可得    1+2+3+4+5+……+99 =(1+99)×99÷2 =4950     例3: 1+3+5+7+9+11+13+15+17 =?   分析与解:这串加数1,3,5,7,9 , 11,13,15,17是等差数列,首项是1,末项是17,共有9个数。由等差数列求和公式可得    1+3+5+7+9+11+13+15+17 =(1+17)×9÷2 =18 ×9÷2 =81    例4: 11+12+13+14+……+27+28+29+30=?  分析与解:这串加数11,12,13,14……27 ,28,29,30是等差数列,首项是11,末项是30,共有(30-11+1=20)个数。由等差数列求和公式可得    11+12+13+14+……+27+28+29+30 =(11+30)×20÷2 =41 ×10÷2 =205     例5: 50+58+66+74+82+90+98 =?   分析与解:这串加数50,58,66,74, 82,90,98是公差为8的等差数列,首项是50,末项是98,共有7个数。由等差数列求和公式可得    50+58+66+74+82+90+98 =(50+98)×7÷2 =148 ×7÷2 =518    *   若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。 例如:   (1)1,2,3,4,5,…,100;   (2)1,3,5,7,9,…,99;   (3)8,15,22,29,36,…,71。 (1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。 *

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