路燈更换策略问题.docVIP

路灯更换策略问题 摘要 根据大数定律和对给出的200组数据用SPSS软件进行分析得到灯泡的寿命大致服从正态分布，因此我们采用随即性的模型来解决本问题，并且对两种策略给出了合理的解释和评价。 在第一种策略的周期分析时，由于寿命的不确定性，采用3原则来确定灯泡寿命的上限，并且以此来作为第一种策略的周期，并且为寻求最佳的更换周期，我们使用单位时间内支出的费用最小来评价该周期是否最优并且讨论了惩罚参数和更换周期的关系，同时对有关部门提出建议， 关键字:随机模型 正态分布 3原则 SPSS软件 1.问题重述 某路政部门负责城市某条道路的路灯维护更换路灯时，需要专用云梯车进行线路检测和更换灯泡，向相应的管理部门提出电力使用和道路管制申请，这些工作需要的费用往往比灯泡本身的费用更高灯泡坏1个换1个。。。。建立一个数学模型，求出更换周期的表达式抽查的200个寿命 (单位:小时) ] 2.假定没有人为的破坏灯泡的行为且灯泡均为合格的产品 3.整批更换之后,所有灯泡不再有使用的价值 4.假设所给200组数据是有代表性的,可以体现一般的规律 5.单个更换灯泡时,换过的灯泡在本周期内不会损坏，且一次就坏一个灯泡 4.符号系统 1. b：整体更换灯泡时单位时间每个灯泡所承受的罚款费用； 2. A：整体更换灯泡时灯泡的总更换费用； 3 ：通过随机抽取的测试获得灯泡的期望寿命 4. ：通过随机抽取的测试获得灯泡寿命的标准差 5 c：单个更换灯泡时,更换一个灯泡所需要的费用(包括安装价格和动用设备的费用) 6. T（i）：更换周期 i=1，2 单位：天 7 . W(i): 总费用 i=1，2 单位：元 8 w(i):单位时间内的费用 i=1,2 单位：元每天 9. T：灯泡的寿命； 10. p（t）：寿命t的概率密度函数即:p(t)=**exp(-) 11. N：灯泡的个数 5.模型的建立 问题一: 对于第一类的策略，显然应该是寿命最长的那个灯泡的寿命即为更换周期N（1）,但是由于灯泡的寿命是不确定因素,而正态分布中绝大部分的数据是在(~)区间上,因此我们使用作为所有灯泡的最长的寿命,既是更换周期T(1).此种更换方式不但会加重管理部门的工作量,而且不易控制,尽管灯泡的寿命是符合正态分布的,但还是无法人为获得每个灯泡具体的损坏时间,因此在现实中相当的不容易实行. 对于第二种策略,根据实际的情况可以得出,如果换得周期太短,则管理部门将会承担更多的更换费用,如果周期太长,则管理部门将要承担额外的罚款费用,同时由于影响了居民的出行,会造成负面的影响.因此必然存在一个合理的更换周期T(2).根据日常生活的经验可知灯泡的寿命是符合正态分布的,所以管理部门可以通过随机的抽取定量的灯泡来确定该批次的灯泡的寿命的期望,进而通过数学模型的计算,得出合理的更换周期,然后定期组织工作人员进行更换,而只要周期的选取适当,居民是可接受的,因此第二种策略相对与第一种比较可行. 问题二: 对于第一种策略的更换周期为 T(1)=+3; 需要的总费用为 W(1)=c*N 对于第二种策略的更换周期为T(2)时所要承受的罚款为 N*b* 需要的总费用为 W(2)=A+N*b* 为寻求最佳的更换周期,我们将单位时间内支出的费用最小作为评价的标准,即:单位时间内的费用越小该更换周期越优. 对于第一种策略的单位时间内的费用为 w(1)= 对于第二种策略的单位时间内的费用为 w(2)= 为求单位时间内的费用的最优解,我们利用微分来解决 令=0 可得= 有积分的性质可以知道积分表示的是图形的面积,而且被积函数是大于零的,T(2)为积分上限,所以T(2)越大,积分值越高,即:T(2)与总更换费用和总惩罚费用的比值成正比关系,当更换的费用越少,惩罚的费用越高时,更换的周期应该是越小的,这与实际情况是完全吻合的. 问题三: 单位时间内的惩罚费用为 = 即当更换费用一定时,单位时间内的惩罚费用与更换周期成反比关系,因此监管部门可以根据灯泡的平均