水箱水流量问题剖析.docx

水箱水流量问题 班级：计算122姓名：李克文 学号：120901055 水箱的水流量问题（一）问题的提出：许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。试着通过测得的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水时间）t流出水箱的流量f(t)。假设：(1)影响水箱流量的唯一因素是该区域公众对水的普通需要。(2)水泵的灌水速度为常数。(3)从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度。(4)每天的用水量分布都是相似的。(5)水箱的流水速度可用光滑曲线来近似。(6)当水箱的水容量达到514.8g时，开始泵水；达到677.6时，便停止泵水。给出下面原始数据表，其中长度单位为E（1E=30.24cm）。水箱为圆柱体，其直径为57E。时间/s水位E时间/s水位E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340（二）关键字 水箱 ，水流量，水箱容积 ，时间。（三）问题分析与建立模型引入如下记号：V——水的容积；Vi——时刻ti（h）水的容积（单位G，1G=3.785L（升）；f（t）——时刻ti流出水箱的水的流速，它是时间的函数（G/h）；p——水泵的灌水速度（G/h）。根据要求先将上表中的数据做变换，时间单位用小时（h），水位高转换成水的体积（V=πR2h），得下表。时间（h）水量（103G）时间（h）水量（103G）0606.112.954639.50.921593.713.876622.41.843583.014.982604.62.950571.615.904589.33.871562.616.826575.04.978552.117.932558.85.900544.119.038542.67.001533.649.959528.27.929525.420.839514.88.968514.822.015/9.981/22.958/10.926/23.880663.410.954677.624.987648.512.033657.725.908637.6注：第一段泵水的始停时间及水量为t始=8.968（h），v始=514.8χ103（G）t末=10.926（h），v末=677.6χ103（G）第二段泵水的始停时间及水量为t始=20.839（h），v始=514.8χ103（G）t末=22.958（h），v末=677.6χ103（G）2由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度：平均流速=（区间左端点的水量―区间右端点的水量）/区间中点值得下表：时间区间的中点值（h）平均流量（×103G/h）0.460614.01.38212.02.39610.03.4119.64.4259.65.4398.96.459.67.4688.98.44810.09.474/10.45/10.94/11.4918.612.4920.013.4219.014.4316.015.4416.016.3716.017.3814.018.4914.019.5016.020.4015.021.43/22.49/23.42/24.4314.025.4512.0做出散点图如图15-1:图15-1 散点图从图中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式处理数据，而用曲线拟合的最小二乘法。（四）计算过程算法： 第1步:输入数据{xi，yi}；第2步:进行拟合；第3步:作出散点图； 第4步:作出拟合函数图； 第5步:进行误差估算。实现: 在算法步2中使用Fit[ ]函数，步3、步4使用Plot[ ]，步5选用Integrate[ ]函数。误差估计： 误差估算时，由于水泵的灌水速度为一常数，水箱中水的体积的平均变化速度应近似等于水泵的灌水速度P减去此段时间从水箱中流出的平均速度。即 此处f（t）在Δt区间的两端点间进行积分。 如果此模型确实准确地模拟了这些数据，那么在不同的灌水周期中，按此模型计算出的水泵灌水速度应近似为常数。下面通过水泵开始和停止工作的两段区间，即t∈[8.968，10.926] 及t∈[20.839，22.958]来进行检验。 第一段： 对应于 t始=8.