重慶大学线性代数答案.docVIP

习题一解答 填空 （3）设有行列式含因子的项为 答：或 （5）设，的根为 解：根据课本第23页例8得到 的根为 （6）设是方程的三个根，则行列式= 解：根据条件，比较系数得到， ；再根据条件，，； 原行列式= （7）设 ，则= 解：相当于中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0. （8）设，则= 解 将按第四列展开得到=，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以=0. =，，则 证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成： == 行列式的变换和行列式的变换完全相同，同样假设行列式变成 == 或将的第列连续经过次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第列连续经过次对换而成为第2列，如此下去，第列连续经过次对换而成为第列，共经过次列对换而变成，所以=。 7、计算下列行列式： （1）， （2）其中 （3） （4）（5） 解（1）第2行、第3行…、第和第行全加到第1行后，第1行提出得 = =. （2）= = (3)= = == （4）将按第一行展开 =+ = （5）+，其中 = 于是== = 习题二解答 8题 设，求为正整数） 解 记，则， 20题 设，，为正整数，证明 证 因为，，所以 = 21题设，，，求。 解 因为，=，，所以 === 23、填空选择题：（1）为阶方阵，为其伴随阵，，则 解 因,所以, （7）设均为阶方阵，可逆，则可逆，且= ；；； 解法一：题目只说均为阶方阵，没有说可逆，于是全错. 解法二： 因可逆，设其逆矩阵为，则，于是.因为 == = 所以可逆，且= 24、设，（为正整数），证明. 证 所以. 推论：设均为阶方阵，若，则， 26、设均为阶方阵，且，，证明 可逆，并求其逆. 证 由得，代入得到=，于是 ，，所以可逆， 27、若对任意的矩阵，均有=0，证明必为零矩阵. 证 =，因为对任意的矩阵，均有=0，于是分别取=、、…，代入=0得到，，，….所以 为零矩阵 28、设为阶方阵，证明的充分必要条件是. 证 若，则；反过来 设=，若=0 则，，…，，于是 习题三解答 第97页2选择题（4）设线性相关，线性无关，则（ ） 线性相关.线性无关. 能由线性表示.能由线性表示. 解 因为线性相关，所以线性相关，又因为线性无关； 于是能由线性表示.答： （5）设向量能由向量组线性表示但不能由向量组（Ι）： 线性表示，记向量组（Ⅱ）：，则（ ）. 不能由（Ι）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示， 不能由（Ι）线性表示，但能由（Ⅱ）线性表示， 能由（Ι）线性表示，也能由（Ⅱ）线性表示 能由（Ι）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示. 解 因为向量能由向量组线性表示，所以存在，使=++；因为不能由向量组线性表示，于是，=++，即能由（Ⅱ）线性表示. 假若能由（Ι）线性表示，则存在，使=++ 代入=++得到能由（Ι）线性表示.矛盾，故选择 7、设向量能由向量组线性表示，且表示唯一，证明线性无关. 证 设++=， 即 =++ （1） 因为向量能由向量组线性表示，即=++ （2） （1）+（2）得 =++ 表示唯一得到 ，，，于是全为零，故 线性无关. 8、设向量组线性相关，线性无关，证明： （1）能由线性表示；（2）不能由线性表示 证（1）因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，故能由线性表示，即存在使=+； （2）假若能由线性表示，则存在，使=++； 将=+代入=++得到能由线性表示，于是线性相关，与条件线性无关矛盾.故不能由线性表示. 12、设维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，证明向量组线性无关. 证 因为维向量组能由单位坐标向量组线性表示，根据条件向量组与向量组等价.向量组的秩为.故向量组的秩为，因此向量组线性无关. 13、设是维向量组，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都能由它们线性表示. 证 设线性无关，为任一维向量. 向量组，一定线性相关， 于是能由线性表示； 反过来 若任一维向量都能由线性表示，则维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，根据第12题向量组线性无关. 14、设向量组（Ι）：的秩为，向量组（Ⅱ）：的秩为， 向量组（Ⅲ）：，的秩为，证明. 证不妨设向量组（Ι）的最大线性无关组为，向量组（Ⅱ）的最大线性无关组为.向量组（Ι）能由其最大线性无关组线性表示，向量组（Ⅱ）能由其最大线性无关组线性表示，于是向