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重视数学思想的贯通应用 四、转化与化归思想——求解数学问题最常用的方法转化与化归思想的含义 转化与化归思想在解题中的应用 　　转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 1 在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等． 2 换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法． 3 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化． 4 在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解． 5 在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f′(x)构成的方程、不等式问题求解． 6 在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化. [例4]　(1)若对于任意t[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________． [解析]　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2， g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，g′(x)≤0在(t,3)．() 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，m＋4≥－3x， x∈(t,3)时恒成立，m＋4≥－3t， m＋4≥－1，即m≥－5； m＋4≤－3x，x∈(t,3)时恒成立， m＋4≤－9，即m≤－. g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－m－5. [答案]　 (2)设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a[－1,1]恒成立，则x的取值范围为________． [解析]　f(x)是R上的增函数， 1－ax－x2≤2－a，a[－1,1]．(*) (*)式可化为(x－1)a＋x2＋1≥0，对a[－1,1]恒成立．(主次转化) 令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1. 则解得x≥0或x≤－1， 即实数x的取值范围是(－∞，－1][0，＋∞)． [答案]　(－∞，－1][0，＋∞) [题后悟道] (1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中． (2)题是主与次的转化，即常量与变量的转化；若将变量与参数变更关系，a为主元，转换思考的角度，使解答变得容易．这种处理问题的思想即为转化与化归的思想． [即时应用] 1．(2014·浙江考试院抽测)若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　) A.　　　　　B.C. D. 解析：选B　由x2＋3xy－1＝0可得y＝， x＋y＝x＋＝＋≥. 2．已知一个几何体的三视图如图所示． 如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，则在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径的长为________． 解析：由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示． 则PQ＝＝＝a. 所以P，Q两点在侧面上的最短路径的长为a. 答案：a 3．已知函数f(x)＝ax3＋(2－a)x2－x－1(a0)． (1)若a＝4，求f(x)的单调区间； (2)设x1，x2,1为关于x的方程f(x)＝0的实根，若，求a的取值范围． 解：(1)当a＝4时，f(x)＝4x3－2x2－x－1， f′(x)＝12x2－4x－1＝(6x＋1)(2x－1)， 由f′(x)0得x－或x， 由f′(x)0得－x， f(x)的单调递增区间为，， 单调递减区间为. (2)f(x)＝(x－1)(ax2＋2x＋1)， f(x)＝0一根为1，另两根为ax2＋2x＋1＝0的解， 由得0a≤1， 由根与系数的关系可知ax2＋2x＋1＝0的解均为负值． 0，x1，x2为ax2＋2x＋1＝0的根， ＝＋＋2＝＝. 令t＝，u(t)＝t＋＋2，t， 则u′(t)＝1－，u(t)在递减，在[1,2]递增， u(t)∈，即，故a. ———————— —————————————————————— 1．转化与化归的原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的