《005九年级上册基础知识归纳.docVIP

九年级上册第一章 证明（二） 1．你能证明它们吗 本节内容：全等三角形的判定；等腰三角形的性质、判定；反证法． （1）等腰三角形的性质 定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)．即：在中，若，则． 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于． 注意：等腰三角形的底角只能为锐角，但顶角可以为钝角(或直角)． 等腰三角形的三边关系：设腰长为，底边长为，则． 等腰三角形的三角关系：设顶角为，底角为，则有：，． （2）等腰三角形的判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成：等角对等边). 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形． 定理：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形 角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边)那么这个三角形是等腰三角形 2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形 高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边 2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角)那么这个三角形是等腰三角形 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形 角 等边对等角 等角对等边 边 底的一半腰长周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形 （3）反证法 反证法是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立的一种证明方法． 反证法的步骤：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立，具体就是： ①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正． 反证法属于“间接证明法”一类，它的一般适用情形： ①结论为否定性命题； ②结论为“至少”、“至多”类命题； ③结论为 “唯一”类命题； ④结论为 “有无穷多个”类命题． 2．直角三角形 （1）直角三角形的性质 ①直角三角形两锐角互余．即：． ②直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．即： ． ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即： ． ④勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方． 补射影定理 射影定理:直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．即： 注意：这个双垂直图形中还有：两对等角(除直角)；三个相似三角形即∽∽；． （2）直角三角形的判定 ①有一个角是直角的三角形是直角三角形． ②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ③勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 3．线段的垂直平分线 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线． 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等． 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 练习：用尺规作线段AB的垂直平分线 4．角平分线 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 练习：（1）用尺规作角AOB的平分线；（2）已知角及内部的两点，求作一个点，使它到这两点的距离相等，且到角的两边的距离相等． 九年级上册第二章 一元二次方程 1．花边有多宽（一元二次方程的概念） 方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程． 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一般形式： 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项． 2．配方法（一元二次方程的解法） （1）直接开平方法 形如的一元二次方程 当时，，，当0时，方程没有实数根． （2）配方法 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程