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湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲 考试科目代码： 考试科目名称： 一、试卷结构 1) 试卷成绩及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 2)答题方式：闭卷、笔试 3)试卷内容结构 高等 4)题型结构 a: 填空题，小题，每小题分，共3分 b: 计算题，小题，每小题分，共分 c: 证明题，小题，每小题分，共分 二、考试内容与考试要求 1、 考试内容 数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式。 考试要求 2、 考试内容 考试要求 3、 考试内容 考试要求 理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算规律和性质。 正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，并会求向量组的一个极大无关组。 深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩，以及矩阵的秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系。了解解空间的概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。并对有解的一般线性方程组，会求其全部解。 4、 考试内容 考试要 掌握矩阵的的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。 5、 考试内容 考试要求 6、 考试内容 考试要求 n维线性空间的概念及性质。 基变换与坐标变换的关系。 正解理解和掌握基之间的过渡矩阵及其性质。 正确理解线性子空间的定义及判别定理，掌握线性方程组的解空间的概念和性质，掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。 掌握子空间的交与和的定义及性质，掌握维数公式并能熟练运用。 深刻理解子空间的直和的概念，以及判断直和的若干充要条件。 7、 考试内容 考试要求 n维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件。 掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念，深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。 掌握不变子空间的定义，会判定一个子空间是否是A-子空间，深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，掌握将空间V按特征值分解成不变子空间和直和表达式。 了解若尔当(Jordan)标准形及其相关性质。 掌握最小多项式的定义和基本性质，会求任意Jordan标准形矩阵的最小多项式。 8、 考试内容 -矩阵的定义，-矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若尔当(Jordan)标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。 考试要求-矩阵的定义，理解-矩阵可逆的充要条件。 了解-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。 了解-矩阵的等价标准形 了解特征矩阵E-A之间的等价和矩阵之间的相似的关系。 9、欧几里德空间 考试内容 定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的相似标准形，向量到子空间的距离，最小二乘法。 考试要求 深刻理解欧氏空间的定义及性质，深刻理解内积的本质，掌握向量的长度，两个向量的夹角、单位向量、正交及度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系和区别。 正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。 正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。 正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及有限维欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。 深刻理解并掌握任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。 正确计算向量之间的距离，了解最小二乘法原理。 三、参考书目