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量子力学复习要求 2008. 4. 24 一. 基本概念: 波粒二象性, 德布罗意关系 波函数的统计解释,波函数的标准条件,波函数的归一化 几率与几率流密度与波函数的关系 几率与几率密度的区别; 算符, 坐标算符, 动量算符, 角动量算符及哈密顿算符的构成. 本征值方程, 本征值, 本征函数 氢原子波函数的构成, 简并的概念, 4个量子数 态叠加原理, 波函数按照本征函数展开, 展开系数的意义 算符的对易关系与测不准关系 表象的概念 定态微扰论: 求能量的一级修正,二级修正,波函数一级修正的基本思路 含时微扰论: 计算跃迁几率的基本思路 自旋概念的引入, 自旋算符, 泡利矩阵 在某个自旋态求平均值, 自旋算符的本征值和本征函数 全同性原理的含义与表述 玻色子与费米子的定义与区别,泡利不相容原理的表述 计算题与证明题 一维薛定谔方程的求解; 简单的本征值方程求解; 几率与几率密度的计算; 力学量在某个态平均值的计算; 有关厄密算符性质的证明(本征值为实数, 本征函数正交等) 证明或检验算符的对易关系及测不准关系; 简单的定态微扰论求能量的一级和二级修正; 自旋算符的本征值问题. 量子力学概念题, 证明题和计算题的具体要求 微观粒子的波粒二象性,徳布罗意关系的物理意义(1.2, 1.3); 一维无限深势阱的波函数的表达式, 习题2.3的结果可以直接用: 2.3一粒子在一维势场 中运动, 求粒子的能级和对应的波函数. 结果: 粒子的能级为 , 归一化的波函数为 . 利用波函数的标准条件定解(2.3, 2.7); 有关本征值,本征函数,本征值方程的概念与证明(见教材有关内容); 波函数的统计解释, 几率密度,几率,几率流与波函数的联系(3.3, 3.4题); 波函数按照本征函数展开,所得到展开系数的物理意义(3.9题); 氢原子4个量子数的取值范围,各个量子数的取值与对应的算符的本征值的关系,简并态的概念(3.5, 3.9题); 氢原子电子的基态波函数, 电子几率分布的最可几半径的计算(3.2题); 力学量平均值的计算,对平均值公式中各个量的理解(3.1, 3.2, 3.6, 3.7); 算符的对易与测不准关系; 用测不准关系估计氢原子的基态能量(3.13题); 非简并定态微扰论计算能量的一级修正和二级修正(理解计算公式中各个量的意义).(5.2, 5.3题) 对电子自旋角动量取值的理解;在自旋态中计算力学量的平均值,计算力学量的均方偏差(7.2题); 泡利矩阵与自旋角动量算符矩阵的联系, 利用自旋角动量算符的本征值方程(矩阵形式)确定自旋函数,及自旋角动量的本征值(教材有关内容及7.3题) 考试题型: 考试由概念题(25%)和计算题与证明题(75%)两个部分组成. 需要记住29个公式 第一章 绪论 1.德布罗意关系, (1) (2) 2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被伏电压加速,则电子的德布罗意波长为 (3) 4.戴维孙和革末的电子衍射实验 (说明电子具有波动性的实验). 作业: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5 第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释: 波函数在空间某一点的强度和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 2.态叠加原理: 如果和是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 ,也是体系的一个可能状态. 薛定谔方程和定态薛定谔方程 薛定谔方程 (4) 定态薛定谔方程 (5) 其中 (6) 为哈密顿算符,又称为能量算符, 4.几率流密度和几率守恒定律与薛定谔方程的联系; 几率流密度 (7) 几率守恒定律 (8) 其中代表几率密度. 5. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性. 6. 波函数的归一化, (9) 注意积分区域,注意不同坐标系中积分体积元和积分上下限. 7.求解一维薛定谔方程的几个例子. 一维无限深势阱及其变种, 线性谐振子(不要求). 注意在势能分布具有对称性的情况下应用对称性简化定解过程. 波函数的标准条件是: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性. 波函数的连续性总是对的; 而波函数的一阶导数的连续性在个别情况下不成立(例如一维无限深势阱的情况). 作业: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8 第三章 量子力学中的力学量 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的