量子力學中的近似方法.doc

第八章 量子力学中的近似方法 第八章 目 录 §8.1 定态微扰论 2 （1）非简并能级的微扰论 2 （2）碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应 11 （3）简并能级的微扰论 15 (4) 简并态可用非简并微扰处理的条件 25 第八章 量子力学中的近似方法(一) 在量子力学中，能精确求解的问题为数是有限的，要么非常特殊，要么非常简单。我们在这章中，介绍一些常用的近似处理方法。也就是说，当将量子力学原理用于实际问题中，我们必须进行一些近似处理，才能得到所要的结果，才能将问题解决。 §8.1 定态微扰论 本节讨论的是与无关 设：，要求其本征值和本征函数 一般没有解析解，为解决这问题，我们将表示为 其中很接近，且有解析解。而是小量，为易于表其大小的量级，无妨令 （1）非简并能级的微扰论 设：的本征值和本征函数为， 构成一正交，归一完备组。 现求解 即 求，的步骤是通过逐级逼近来求精确解，即将，对展开。由于涉及的项较小，因此，应接近，接近。所以，可以从，出发求，。当，即，， 非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响处理的结果）。 我们可将 求和号上的撇表示求和不包括态，即是与正交的。 其中为归一化常数，它随准确到那一级而定。代入上式得 于是有 A. 一级微扰近似。 以标积 以（）标积 因此，在一级近似下 (归一化 准至一级) 所以，在这条能级为非简并时，其能量的一级修正恰等于微扰在无微扰状态的平均值。 例1：考虑一个粒子在位势 准至一级修正的能量为 a．微扰论的应用限度： 如准到一级，可以看出，完全是分立能级. 但事实上，当时，粒子是自由的，因此是连续的，可取任何值。 而要其比较精确，必须 即 b．经典力学和量子力学的差别：经典粒子不能运动到之外区域，而量子力学中，粒子有一定几率在区域中。 事实上，由于，由定理可证得 例2．已知一个在核（）库仑场中运动 相应能量为 当原子核发生衰变后，该在的库仑场中运动，这时 的哈密顿量为 试用微扰论求衰变后原子的能级 ∵ 一级微扰论的能量修正 即 () 于是 事实上，这问题是可以精确求解的 近似解与精确解的差 由此可见：①越大，微扰的精确性越大，到一级就很精确，所以低级近似就可以达到较精确的程度； ②应该指出，现在处理的问题中，能级实际上是简并的（简并度为）。但仍用了非简并微扰论来处理，这是因为微扰作用的矩阵元 也就是说，对于态，由于微扰的影响仅来自，而,的态根本不起作用，因而态（无论是否等于，只要,）这些态都形同虚设，那也是形同虚设。在这时，微扰可用非简并微扰处理。所以，所谓可用非简并微扰论处理的问题，是指我们要处理的态（现为）所在能级的其他态（现为，，）在微扰中的任何一级都不起作用，即（若，） 例3．求氦原子的哈密顿量 设： 设 的基态为 即 于是 以方向为z方向 由 准至一级的能量 B．二级微扰：当微扰较大时，或一级微扰为零时，则二级微扰就变得重要了，由项得 以进行标积得 以进行标积得 准至二级的能量和波函数 由 准至二级的归一化波函数为 显然，要使近似解逼近真实解，就要恰当选取，而且要求，这样取一级近似才可以满足精度要求。 由微扰的能量二级修正公式可以看出，对于基态，即。所以，二级微扰是负的，使能级下降。 例：刚体转子的斯塔克效应（Stark effect） 将体系置于外电场中，能级发生移动的现象称为Stark effect。 设：转子的角动量为，电偶极矩为，当置于均匀外电场中 （取电场方向为z） 显然 （有重简并） 由于 而 因此，运算到的本征态上，不改变其本征值 所以，也是的本征态，本征值仍为。 由递推关系 而 因此尽管每一条能级有重简并。但是，对某一态有相互作用的是那些同，但不同的能级。所以，如考虑未微扰的能级态为，则只需要在所有不同，但同的状态中来考虑。这样尽管能级是简并的，而就一个态而言，可看作“没有简并”的态，其他的态对它没有任何影响（在微扰下），从而可用非简并微扰论来处理。 由这可看出，简并部分解除（同不同的能量不同，但相同）和态仍简并，即重简并条（不简并，而其他的为二重简并）。 简并的解除，实际上是的对称性被