量子力學基础习题.docVIP

《量子力学》基础习题 ? 10K附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。 2．氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求时，氦原子的德布洛意波长。 3．设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 4．两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ ? 5．证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。 6．由下列两定态波函数计算几率流密度； （1）， （2） 7．求粒子在一维无限深势阱 中运动的能级和波函数。 8．证明（2.6-14）式中的归一化常数是。 9．求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。 10．一维运动的粒子处于如下状态： 其中， (1) 将此波函数归一化， (2) 问在何处找到粒子的几率最大？ 11．设在球坐标系中，粒子的波函数为， 求 (1)在球壳中找到粒子的几率， (2)在方向，立体角元中找到粒子的几率。 12． 求三维各向同性谐掁子的能级和波函数。 13．设和都是一维定态薛定谔方程的解，而且它们属于同一能级E，试证明： constant. 14．上题中，若和描述的都是束缚态，试证明和只相差一个常数因子。(提示：所谓束缚态，即当时有) 15．一维线性谐振子处于基态，求 （1）势能的平均值 （2）动能的平均值 （3）动量的几率分布函数。 16．氢原子处于基态，求： （1）的平均值； （2）势能的平均值； （3）最可几半径； （4）动能的平均值； （5）动量的几率分布函数。 17．一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是。L为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： （1）转子绕一固定轴转动； （2）转子绕一固定点转动。 18．一维运动的粒子的状态是 其中，求 （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。 19．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 20．设氢原子处于状态 　　　　 求氢原子的能量，角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 21．求（3.7）题中粒子位置和动量的测不准关系 22．已知和是二个厄密算符，试证明： (1) 也是厄密算符 (2) 也是厄密算符 23．求解算符的本征值和本征函数。 24．令和，试证明 (1) ，(2) 25．求动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。 26．求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 27．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 28．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 29．设已知在和表象中，算符和和矩阵分别为 　　　，　 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。 30．求下面四个矩阵元：，，和。 31．已知某表象的三个基矢为：，有两个算符和，它们有如下性质：，，， ，，， 试写出算符，，和的矩阵。 32．实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为的均匀分 球体它产生的电势为 为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰， 计算原子的能级的一级微扰修正。 33．设， ，（为实数） 用微扰论求解能级修正（准到二级近似），并与严格解（把矩阵对角化）比较。 34．一维无限深势阱（0，a）中的一个粒子在时刻处于如态： ， 求时刻的状态波函数。 35．已知某体系的哈密顿算符，其中无微扰哈密顿算符和微扰在表象中的矩阵分别为： ， ， 试用微扰论方法求能级。(精确到二级修正) 36．体系无微扰的能级E是二度简并，波函数是和，它们是相互正交归一的。现有微扰，而且有，， 求一级近似的能级和相应的零级近似波函数。 37．求证： 38．在本征态下，求 39．在表象中，求和的本征值和本征矢量。 40．求自旋角动量在方向的投影 　　　　 的本征值和所属的本征函数。 41．设氢原子状态是 　　　　　 （1）求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值； （2）求总磁矩　　（SI） 的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。 42．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？ 43．证明，，和组成正交归一系。 44．设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。