《1.3.2杨辉三角马芳修改.docVIP

学案 1.3.2 杨辉三角 修改：马芳 【课标点击 】 (一)学习目标： 1.理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用； 2.了解我国古代科学家对数学的贡献，激发学生学习数学的兴趣。 (二)教学重、难点： 重点：理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用； 难点：二项式系数性质的应用。 【课前准备】 （一）知识链接 1.组合数的两个性质：（1） Cnm = Cnn-m ； （2） Cn+1m = Cnm + Cnm-1 。 2.二项式定理： （a+b）n = Cn0an + Cn1 an-1 b + Cn2 an-2 b2 +…+ Cnr an-r br +…+ Cnn bn (nN+) 其中二项式系数为 Cnr ， 通项公式是 Tr+1 = Cnr an-r br ( 其中0rn, rN, nN+ ) 。 （二）问题导引： 杨辉是何许人？“杨辉三角”是指什么？它能对我们研究二项式系数提供什么帮助？ 【自主探究】 （三）学习探究： 阅读课本P29完成一下问题： 【探究活动1】 【问题1】杨辉三角中每一行的两端的数有什么特点？其余的数呢？ 【问题2】杨辉三角是轴对称，关于对称轴对称的两个数有什么关系？ 【问题3】杨辉三角中每一行数有什么变化规律？最大数是那一个？ 【问题4】杨辉三角中每一行数的和有什么规律？ 【知识梳理】 通过观察杨辉三角，得二项式系数有以下3条性质： （1） Cn0 =1, Cnn =1, Cn+1m = Cnm-1 + Cnm ； （2） Cnm = Cnn-m ； （3） 若n为偶数，则T+1 项的二项式系数最大；若n为奇数，则T与T+1项的二项式系数相等且最大 。 （4）二项展开式的二项式系数的和等于2n ， 即 Cn0 + Cn1 + Cn2 +…+ Cn= 2n 。 【思考与讨论】 用什么方法证明二项式系数和为2n？（赋值法） 二项式系数中偶数项的和与奇数项的和有什么特点？是多少？ （四）典例示范 例 1：证明：在（a+b）n 展开式中，奇数式的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。 证明：在展开式 （a+b）n = Cn0an+Cn1an-1 b +Cn2an-2 b2 +Cn3an-3 b3+…+Cnnbn 中，令a=1，b = -1，则得 （1－1）n = Cn0－Cn1+ Cn2－Cn3+…+(-1) n Cnn， 即 0=（Cn0+Cn2+ Cn4+…）－（Cn1+Cn3+ Cn5+…）。 所以 Cn0+Cn2+ Cn4+…= Cn1+Cn3+ Cn5+… 小结 1.解题方法是 赋值法 ； 2.Cn0 + Cn2+ Cn4 +…… = Cn1 + Cn3 +Cn5 +……= 2n-1 . 例 2：已知（x2-1）n展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含x6 的项的二项式系数和项。 解：因为展开式的各项二项式系数和等于2n，所以2n=1024=210，得到n=10。 （x2-1）10展开式的通项为 Tr+1= C10r（x2）10-r·（-1）r =（-1）r C10r x20-2r， 由已知，令20-2r=6，求得r=7， 所以所求项为（-1）7C107 x6 = -120x6 . 小结：注意区别二项式系数与项的系数。 例 3：求（1－x）8 的展开式中二项式系数最大的项。 解：因为1－x的幂指数8是偶数，由性质3，（1－x）8的展开式中间一项（即第5项）的二项式系数最大，该项为 Tr+1= T5=C84（-x）4=70x4 （五）变式拓展： 已知(x3+ )n 的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项。 解：(x3+ )n 的展开式的通项为： Tr+1 = Cnr(x3)n-r()r = Cnr x3n-6r T5+1项的系数Cn5最大 n=10 令30-6r=0得 R=5 即展开式中的常数项为 T5+1= Cn5 =252 （六）课堂小结： （七）当堂检测： A组： 1.在（a+b）12的展开式中，与第三项的二项式系数相等的是（C ） A.第九项的二项式系数 B.第十项的二项式系数 C.第十一项的二项式系数 D.第十二项的二项式系数 2.在（x+2）2008的展开式中，以下结论正确的是（A ） A.二项式系数的和是22008 B.第r项的二项式系数为C2008r C.