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量子力学复习提纲 第一章 绪论 1.德布罗意关系, (1) (2) 2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被伏电压加速,则电子的德布罗意波长为 (3) 第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释: 波函数在空间某一点的强度和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中代表几率密度. 2.态叠加原理: 如果和是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 ,也是体系的一个可能状态. 薛定谔方程和定态薛定谔方程 薛定谔方程 (4) 定态薛定谔方程 (5) 其中 (6) 为哈密顿算符,又称为能量算符, 4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性. 5. 波函数的归一化, (9) 6.求解一维薛定谔方程的几个例子. 一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿. 第三章 量子力学中的力学量 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则; 本征值方程,本征值,本征函数的概念 (10) 3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系. (11) 实数性: 厄密算符的本征值是实数. 正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交. 完全性: 厄密算符的本征函数和组成完全系, 即任一函数可以按和展开为级数: (12) 展开系数: , (13) . (14) 是在态中测量力学量得到的几率, 是在态中测量力学量,得到测量结果在到范围内的几率. 4. 和算符的本征值方程,本征值和本征函数. , 本征函数 . 5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数的数学结构, (15) 主量子数n,角量子数l和磁量子数m的取值范围,简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度. (16) 不考虑电子的自旋是度简并的; 考虑电子的自旋是度简并的. 7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在点周围的 体积元内的几率 (17) 计算电子几率的径向分布和角分布. 计算在半径到的球壳内找到电子的几率. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式. (18) 注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 算符的对易关系及测不准关系. (1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数. 例如: 氢原子的哈密顿算符,角动量平方算符和角动量算符相互对易, 则 (i) 它们有共同的本征函数, (ii) 在态中,它们同时具有确定值: , , . (2) 测不准关系:如果算符和不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设 则算符和的均方偏差满足: (19) 其中 , 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零点能等. 给定态函数,计算两个力学量和的均方偏差的乘积 (20) 态和力学量的表象 对表象的理解 (1) 状态: 态矢量 (2) 表象:力学量的本征函数 构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量 (4) 将态矢量按照上述基矢量展开: 是态矢量在表象中沿各 基矢量的分量. (5) 是在所描写的态中,测量力学量得到结果为的几率. 算符在Q表象中的表示 (i)算符在Q表象中是一个矩阵, 称为矩阵元 (ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应的本征值. 3. 量子力学公式的矩阵表述 平均值公式: (21) 本征值方程 ? 久期方程 ? 薛定谔方程的矩阵形式 (22) 4. 么正变换的概念 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定, 态矢量由A表象变换到B表象的公式 (23) 力学量由A表象变换到B表象的公式: (24) 5. 么正变换的性质 (i)