量子力學复习题部分解答.doc

s 5如果算符、满足条件， 求证：， ， 证] 利用条件，以左乘之得 则有 最后得 。 再以左乘上式得 ， 即 则有 最后得 7（10分）求角动量z分量 的本征值和本征函数。 解： 波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即： 求归一化系数 最后，得 Lz的本征函数 9 10在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 ① 将式中的代换，得 　　② 利用，得 ③ 比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演 而得其对方，由①经反演，可得③， ④ 由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 　　　　　　　　 ⑤ ④乘 ⑤，得 可见， 当时，，具有偶宇称， 当时，，具有奇宇称， 当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称 11一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：无关，是定态问题。其定态S—方程 在各区域的具体形式为 Ⅰ：① Ⅱ：② Ⅲ：③ 由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令，得 其解为 ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ⑤ 　　⑥　　　　 ⑤　 ⑥　 ∴ 由归一化条件 得 由 可见E是量子化的。 对应于的归一化的定态波函数为 12设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。 解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 ∴ ∴ 动量的平均值为