量子力學导论答案下(7-12).docx

第七章 粒子在电磁场中的运动 7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动，求能级本征值和本征。（参《导论》）解：以电场方向为轴，磁场方向为轴，则， （1）去电磁场的标势和矢势为， （2）满足关系 ， 粒子的Hamiton量为 （3）取守恒量完全集为，它们的共同本征函数可写成 （4）其中和为本征值，可取任意函数。满足能量本证方程： 因此满足方程 （5）亦即，对于来说，和式等价： （6）其中 （7）式（6）相当于一维谐振子能量算符再加上两项函数，因此本题能级为 （8）其中和为任意实数， 式（4）中 为以为变量的一维谐振子能量本征函数，即 （9）为厄密多项式， 。7.2）设带电粒子在均匀磁场和各向同性谐振子势中运动，求能量本征值。第八章 自旋在表象中，求的本征态。解：在表象中，的矩阵表示为：设的本征矢（在表象中）为，则有可得及 。 则 则利用归一化条件，可求出的两个本征态为 。在表象中，求的本征态， 是方向的单位矢.解：在表象中，的矩阵表示为， ， （1）因此， （2）设的本征函数表示为，本征值为，则本征方程为，即 （3）由（3）式的系数行列式，可解得。对于，代回（3）式，可得归一化本征函数用表示，通常取为或 （4）后者形式上更加对称，它和前者相差因子，并无实质差别。若用的直角坐标分量来表示，可以取为或 （4’）如，二者等价（仅有相因子的差别）。若，应取前者；若，应取后者。对于类似地可以求得或 （5）或 或 （5’）若，取; 若，取。在本征态下，求和。解：但 （常数矩阵），， ，类似有。（a）在本征态下，求的可能测值及相应的几率。（b）同第2题，若电子处于的自旋态下，求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。解：（a）利用8.2）题求得的本征函数，容易求出：在自旋态中，的几率为 （1）的几率为 （2）（b）在自旋态态，的几率为 （3）的几率为： （4）[或 （5’）]考虑到 ，各分量以及各分量在的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作轮换，就可推论出以下各点：的几率为， （6） （7）的几率为 （8） （9）将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下：自旋态中， （10）类似地，容易算出：自旋态中， （11）解二：（a）在自旋态中，的可能测值为本征值设相应的几率为及，则 （12）由于 （13）考虑到在的本征态中和的平均值为，的平均值即为其本征值，因此在态下， （14）由式（12）、（14），并利用，就可求出， （15）此即解一中的式（1）、（2）。（b）在式（14）中，是轴和的夹角。 轴和的选取是任意的。完全可以将原来的轴作为新的轴，而原来的取作新的轴。由此可知：在的自旋态中，的平均值仍为，即。再令轮换，即得自旋态中， （10）在态下各分量的取值大部分当然均为，其几率也可估照（a）中计算而写出，即的几率为 （6）的几率为 （8）的几率为 （3，4）证明（为常数）[量Ⅱ]8.7）由两个非全同粒子（自旋均为）组成的体系，设粒子间相互作用表为 （不考虑轨迹运动）。设初始时刻（）粒子1自旋“向上”，粒子2自旋“向下”。求时刻时，粒子1自旋向上的几率（答：，取）粒子1和2的自旋向上的几率（答：）总自旋s=0和1的几率（答：都是）求和的平均值（答：，，）。解：从求体系的自旋波函数入手，由于 （1）易见总自旋是守恒量，所以定态波函数可以选为、的共同本征函数，按照总自旋量子数的不同取值，本征函数和能级为 （2）时，体系的自旋态为 （3）因此，时波函数为 （4）即 （4’）(a）由式（4’）可知，在时刻，粒子1自旋“向上”［同时粒子2自旋“向下”，相当于项］的几率为。(b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于，式（4’）中没有这种项］的几率为。这是容易理解的。因为总自旋为守恒量，而体系初态，所以任何时刻必为0，不可能出现两个粒子均“向上”的情形。(c)由式（4）可知，总自旋量子数取和的几率相等，各为。由于守恒，这个几率不随时间改变(d)利用式（4’）容易算出和的平均值为 （5）第九章 力学量本征值问题的代数解法9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（）与轨迹角动量（）耦合成总角动量的波函数，这相当于的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数 解：8.2节式（21a）（21b）: （21a） （21b）此二式中的相当于CG系数中的 ，而,。因此，（21a）式可重写为 （21a’）对照CG系数表，可知：当,时 ，而时，对于的（21b）式，有 9－2）设两个全同粒子角动量，耦合成总角动量， （1）利用系数的对称性，证明由此证明，无论是Bose子或Fermi子，都必须取偶数证：由式（1），把,利用系数的对称性 (2) 对于Fermi子，半奇数，