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量子力學的复习提要
量子力学的复习提要
量子理论基础
热辐射 普朗克量子假说:
物体发射或吸收电磁辐射只能以“量子”方式进行,每个能量子的能量为 。
2、光电效应 爱因斯坦光子假说 :
光和粒子相互作用时表现出粒子性,每一个光量子的能量E与辐射频率的关系 。
3、康普顿效应
光量子具有动量,在定量上是正确的;在微观的单个碰撞事件中,动量和能量守恒定律仍成立。
玻尔理论
原子具有离散能量的定态,两个定态之间的量子跃迁的概念以及频率条件:
.
德布罗意的波粒二象性假设 德布罗意波-物质波
de Broglie relation
二、量子力学的基本框架
量子系统的状态用波函数描述。
● 波函数的概率诠释
:在r点处的体积元中找到粒子的概率。
● 态叠加原理
如?1, ?2?n等都是体系的可能状态,那末它们的线性叠加态 也是这个体系的一个可能状态,
2 、描写物理系统的一个力学量,对应于一个线性厄米算符。
,本征值
本征函数
的共同本征函数是球谐函数:
,
对易式 .
基本对易式
角动量对易式
, , ,
, ,
厄米算符的本征值为实数,对应不同本征值的本征矢相互正交。
3 、任一状态的波函数?,都可以用力学量算符的本征函数系,或一组力学量完全集的共同本征函数系来展开。
当系统处在由波函数? 所描述的状态时,每次测量一个力学量所得到的结果,只可能是与该力学量相对应的算符的所有本征值中的一个。
对与算符相应的力学量进行足够多次的测量,所得的平均值是? 与的内积,同? 与其自身的内积的商,即
.
或者说,对与算符相应的力学量进行测量,每次测量的结果取的某一本征值An的概率wn,等于? 对的本征函数系的展开式中,相应于本征函数?n那项的系数的模方,即
.
4、 态函数随时间的演化遵从薛定谔方程
,
其中是系统的哈密顿算符,当哈密顿算符不显含时间t时,对应的定态薛定谔方程(能量本征值方程)为 。
5、 系统内任意两个全同粒子互相交换,都不会改变系统的状态。
玻色子:
费米子:
泡利不相容原理:不可能有两个全同的费米子处于同一个单粒子态。
旋与轨道角动量的基本内容要清楚
自旋算符与轨道角动量的代数类似。
氢原子
能级特点,简并度。波函数由径向和角度两部分构成。
三、基本计算能力要具备
基本例题和作业题要掌握
一维无限深势阱,线性谐振子,势垒穿透
2、波函数的概率诠释,定态的概念与判断
3、重点在前三章中的基本内容。
4、 补充习题与参考答案
补充习题1(选做)、已知局限在到a范围内运动的粒子的归一化波函数为 ,计算其动量和动能平均值。
解:动量算符为,
动能算符为,
动量的平均值为
动能的平均值为
补充习题2(选做)、简谐振子的能量算符为,基态的归一化波函数为,其中。计算其动量和能量的平均值。
解: 动量的平均值为
动能的平均值为
补充习题3(选做)、补充习题1中的波函数是否动量的本征函数?是否动能的本征函数?如果是,本征值是多少?
解:(1)
―不是本征函数
(2)
是本征函数,本征值为。
补充题4(选做):在状态中,讨论的值,并求。
解:的本征函数为,本征值为
but
显然, 是由的两个本征函数叠加而成,这两个本征态对应于,且取的概率相同,各为。
的本征值自然为零
=。
补充题5(选做):粒子在一维无限深势阱中运动,对于基态求:
解:宽为a的一维无限深势阱中运动的粒子的基态为
则
而
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735
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