量子力學讲义V定态微扰论.docVIP

V. 定态微扰论 1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。 ?????答：已知，微扰论中，对能量为 的 态，能量二级修正 如 态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有 ，故 永为负。 2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值． ???? ?答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。已知 。则 正是能量一级近似.3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？ ?????答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解． 4.一维谐振子，其能量算符为 (1) 设此谐振子受到微扰作用(2) 试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。 ???? ?解： 的本征函数、本征值记为。如众所周知 （3） 在 表象（以 为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为 （4） 因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型： （5） （6） 按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为： （7） （8） （9） 本题显然可以精确求解，因为 令 可以写成 （10） 和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为 （11） 因为 ，将作二项式展开，即得： （12） 和微扰论结果完全一致。 5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．) ?????解：加电场前，基态波函数为 ， （波尔半径） （1） 满足能量方程 （2） 其中 视外电场为微扰，微扰作势为 （3） 由于为偶宇称，为奇宇称，所以一级能量修正为0， (4) 波函数的一级微扰修正满足方程 （5） 除了一个常系数外，即球谐函数，考虑到和都是球对称的，易知必可表示成 (6) 代入（5）式，并计及 其中 由式（5）可得满足的方程 （7） 为边界条件为处，。 用级数解法或试探法，不难求出式（7）的解为 （8） 因此 （9） 按照微扰论公式，能级的二级修正为 （10） 将式（3），（9）代入上式，即得 （11） 利用的具体表示式（1），容易算出 因此 (12) 此即外电场引起的基态能级移动，它和成正比． 电偶极矩算符为，其平均值为 （13） a 根据和的对称性，易得 ，， （14） 原子的极化系数由下式确定： 或 （15） 由此容易求得 （16）。 电子科技大学光电信息学院Copyright???2005