排列组合易错点分析.doc

排列组合易错点分析 　　排列组合问题内容抽象，题型多样，解法灵活，不易掌握. 在解决这类问题时容易因为概念不清、考虑不周、忽视条件、建模不当、思维混乱等出错.现将排列组合问题中的常见错误进行归纳，供大家参考. 　　1. 误用“加法” “乘法”原理 　　例1 有4名同学去争夺3个项目的冠军，不允许出现并列冠军，则共有多少种不同的结果？ 　　错解 完成这件事分四步：（1）第1名同学去争夺冠军，有3种不同结果；（2）第2名同学去争夺冠军，有3种不同结果；（3）第3名同学去争夺冠军，有3种不同结果；（4）第4名同学去争夺冠军，有3种不同结果；根据分步计数原理，共有3×3×3×3=81种不同结果. 　　分析 完成这件事的分步方式不当，这种分类方式可能导致其中有1项冠军不止1人获得，不合题意.本例可归结为：“被分配元素”是3个冠军，“接收单位”是4名学生，需要分3步完成.一般地，若“被分配元素”个数是[n]，“接收单位”的个数是[m]，则不同的分配方法有[mn]种. 　　正解 完成这件事分三步：（1）确定第1个项目的冠军，有4种不同结果；（2）确定第2个项目的冠军，有4种不同结果；（3）确定第3个项目的冠军，有4种不同结果.根据分步计数原理，共有43=64种不同结果. 　　2. 混淆“排列”“组合”概念 　　例2 身高各不相同的7名同学站成一排，要求正中间的最高，左右两边身高从中间到两边顺次递减，这样的排法共有 种. 　　错解1 完成这件事分三步：（1）身高最高的同学站中间，有1种排法；（2）从其他6名同学中选出3人站左边，共有[A36]种排法；（3）将剩余的3人排在右边，共有[A33]种排法；不同选派方法共有[1?A36A33=720]种排法. 　　错解2 身高最高的同学站中间，有1种排法；再从其他6名同学中选出3人站一边，共有[C36]种排法；因为两边可以交换，所以不同选派方法共有[1?C36A22=40]种排法. 　　分析 混淆排列、组合概念，本题看似是排列问题，实则是组合问题.对于错解1（2）中站在左边的3名同学一旦选定，顺序就是唯一确定的，应该是组合问题，不同选法种数是[C36]，而不是[A36].对于错解2，设身高由高到低的7名同学的编号为7、6、5、4、3、2、1，则对于排法数[C36]，排列1237654和4567321被视为不同的结果，所以不需要乘[A22]. 　　正解 完成分派任务分三步：（1）身高最高的同学站中间，有1种排法；（2）从其他6名同学中选出3人站左边，共有[C36]种排法；（3）将剩余的3人排在右边，共有1种排法；不同选派方法共有[C36=20]种排法. 　　3. 转化“至少”“至多”出错 　　例3 10件产品中有2件次品，从中任意抽取3件，其中至少1件次品的抽法数有多少种. 　　错解 完成这件事分两步：（1）从2件次品中抽取1件次品，有[C12]种抽法；（2）从余下9件产品中抽取2件产品，有[C29]种抽法；不同抽法共有[C12C29=72]种. 　　分析 错误地采用保底的思维方式，分步计数时两步之间并不独立导致重复计算，设2件次品的编号为a，b，8件正品的编号为1，2，3，…，8，“从2件次品中从抽取1件次品a，从9件余下产品中抽出b、1”和“从2件次品中从抽取1件次品[b]，从9件余下产品中抽出[a]，1”应该是一种抽法，但是在错解中计算了2次，正确解法应该采用正面分类、合理分步相结合的方式. 　　正解 完成这件事分两类：（1）抽出1件次品和2件正品，不同抽法共有[C12C28=56]种；（2）抽出2件次品和1件正品，不同抽法共有[C22C18=8]种. 不同抽法共有[C12C28+C22C18=64]种. 　　4. 计数出现重复、遗漏 　　例4 从1，2，3，4，7，9这6个数中任取2个数分别作为一个对数式的底数和真数可以组成多少个不同对数值？ 　　错解 完成这件事分三类：（1）若1是真数，则2，3，4，7，9中任意一个是底数，只有1个对数值0；（2）若2，3，4，7，9中任意一个数是真数，则除1和选定的真数之外的4个数中任意一个是底数，有[A25]个不同对数值；根据分类计数原理，共有[1+A25=21]个不同对数值. 　　分析 没有注意到对数性质[loganbm=mnlogab]，如[log94=log32]等，出现了重复计算情况. 　　正解 完成这件事分3类：（1）若1是真数，则2，3，4，7，9中任意一个是底数，只有1个对数值0；（2）若2，3，4，7，9中任意一个数是真数，则除1和底数之外的4个数中任意一个是底数，由于[log94=log32]，[log49=log23]，[log24=log39]，[log42=log93]，因此，有[