排列组合题解题七法.docVIP

排列组合题解题七法 　　排列组合题的解题方法既有一般规律，也有特殊的解题技巧. 因为排列组合题中有许多同类型的问题，我们可以把解答这类题的技巧看作一种模板. 　　一、先总再分法 　　这个模板主要针对相邻的排列组合题. 具体方法是先把相邻的元素当作一个整体和其他的元素进行全排，然后将相邻的元素进行全排.其模型为：有[m+n]个元素排成一排，其中[n]个元素必须排在一起，共有[Am+1m+1?Ann]种不同的排法. 　　例1 利民商场计划在一柜台上展出10种不同的茶叶，其中1种白茶，4种红茶，5种青茶，排成一行陈列，要求同一品种的茶必须排一起，并且白茶不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） 　　A. [A44?A55] B. [A33?A44?A55] 　　C. [C13?A44?A55] D. [A22?A44?A55] 　　解析 红茶整体、青茶整体、白茶个“元素” 先排，考虑到白茶不能排两端，所以有[A22]种方法，又红茶的不同陈列方式有[A44]种，青茶的陈列方式有[A55]种. 　　因而柜台上茶叶的不同陈列方式有[A22?A44?A55]种. 　　答案 D 　　二、相间穿插法 　　这个模板主要针对相间的排列组合题. 具体方法是先把不要求相间的元素排好，再将相间的元素插空排列.其模型为：有[m+n][n≤m+1]个元素排成一排，其中[n]个元素不能相邻，共有[Amm?Anm+1]种不同的排法. 　　例2 某高中今年秋季有6项课改活动需要先后单独完成，其中活动乙必须在活动甲完成后才能进行，活动丙必须在活动乙完成后才能进行，活动丁又必须在活动丙完成后才能进行，那么安排这6项活动的不同排法种数是 （用数字作答）. 　　解析 依题意，只需将剩余两个活动插在由甲、乙、丙、丁四个活动形成的5个空中，可得有[A25]=20种不同排法. 　　三、“客人住店”法 　　这个模板主要解决“允许重复排列问题”，解题时要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复. 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解. 　　例3 某次田径运动会上，有7名运动员要争夺5项冠军，请问获得冠军的可能的种数有（ ） 　　A. 75 B. 57 　　C. [A57] D. [C57] 　　解析 因同一运动员可同时夺得几项冠军，故运动员可重复排列，将7名运动员看作7家“店”，5项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种. 　　答案 A 　　点拨 对此类问题，有同学会有疑惑：为什么不以5项冠军作为5家“店”呢？因为几个运动员不能同时夺得同一冠军，即冠军不能重复. 　　四、先排后除法 　　这个模板主要针对定序类的排列组合题. 具体方法是，对于某些元素的顺序固定的排列问题，可以先全排，再除以定序元素的排列数.其模型为：分别有[m]，[n]，[r]个相同的元素排成一排，共有[Am+n+rm+n+rAmm?Ann?Arr]种不同的排法. 　　例4 张三、李四和王五3位爱心人士要安排在周一至周五的5天中参加一项慰问活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求张三安排在李四和王五之前.不同的安排方法共有（ ） 　　A. 20种 B. 30种 　　C. 40种 D. 60种 　　解析 将5天选出3天进行全排列，然后再除以张三在李四和王五前面、中间和后面的排序数3，共有[A353=20]种排法. 　　答案 A 　　五、隔板处理法 　　这个模板主要针对隔板类的排列组合题. 具体方法是，把[n]个相同的物放到[m][（mn）]个编号不同的容器中，或者说这类题相当于在[n]个球的[n-1]个空挡中插入[m-1]块隔板，这样就将[n]个球分成了[m]组，然后对应地放入[m]个编号不同的容器中，其方法有[Cm-1n-1]种. 　　例6 某工厂准备组建一支由18人组成的志愿者队伍，这18人由工程部的12个小组中的人员组建，每个小组至少挑选1名成员参加，问有多少种不同的分配方案？ 　　解析 这18个人当作18枚棋子，即先将18枚棋子排成一排，在相邻的两枚棋子形成的17个间隙中选取11个插入隔板，将这18枚棋子分隔成12个区间，第[i（1≤i≤12）]个区间的棋子数对应于第[i]个小组成员的分配名额.因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相同. 故共有[C1117=12376]种. 　　六、特定位置处理法 　　这个模板主要针对甲、乙不在指定位置问题的排列组合题，可以转化成模板“[n]个元素[a1，a2，…，an]排成一排，其中[a1]不在排头，[an]不在排尾，共有多少种排法？”. 具体解法是，逆向思维，先将[n]个元素全排有[Ann]种方法，再减去[a1]在排头的[