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第一讲 Black-Sholes公式的离散形式证明 一、Black-Sholes的期权定价公式 看张期权的定价公式： 看跌期权的定价公式： 其中 为标的物的价格且，为到期时的股票价格；为无风险利率;k为敲定价格。 二、证明 两个基本假设：股票市场有波动，不存在风险套利 (a)分为N等份，每一段时间为 (b)假设初始财富为1，每一期的期末有两种可能：以p的概率变为1+b；以1-p的概率变为1+a。每一个等份内的利率为， (2)易知。 (3)构造离散形式的二叉数模型 上面的二叉树可以一直延续到第N期，期末的财富为。N阶段必然有N+1个终点，其中包括：个，个，…个…,个。 (4)在T时刻有 如果我们令，就可以得到下式： (5)期权在N时刻的价值 call: put: (6)看张和看跌期权的平价关系 由步骤（5）可知： (7)收益率的换算 因为，所以连续复利。 又因为 根据无套利均衡原理，平均收益率 令，则 (8)二项分布的正态逼近 定理：设，独立同分布。对其中的有，则： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 证明：由于，将和带入可以得到： 取极限有： (Ⅰ) (Ⅱ)； 所以有 (Ⅲ)的特征函数 所以 (9)看跌期权的价值 令 所以 令 再令， 所以 又因为当时 所以 令 有 再令 进一步可得到： (10)由步骤(6)的平价关系可知： 第二讲 证券投资组合理论 一、证券投资组合的收益风险测定 1、单一证券的收益风险的测定 R为某种证券在一段时间内的收益率，是随机变量 E(R)——预期收益率 ——证券风险 2、两个证券收益与风险的测定 预期收益率 ： 风险 3、两个证券、、、之间的关系 ① ② ③ 4、多种证券的组合 　　　　　 　　　 二、有效边界和最优投资组合 ⑴可行集 ⑵有效集 ⑶风险偏好，无差异曲线 ⑷最优投资组合 三、无风险资产 无风险资产收益确定，方差为零。 四、有效边界线为双曲线 1、两基金分离定理： 有效边界上的任一点都可以由上面的两个不同点的线性组合表示 2、有效边界线为双曲线的证明: 资产权重： 资产收益（列向量）： 　　　　 资产的协方差矩阵：　 　　　 约束条件： 构造拉格朗日函数： 　　　　　　　　　　　① 由①得： 记 　　(B0,C0,D0) 则： 解得： 记? 得： 设，是对应上式的两个点，。第三点 取一，使得： 在有效边界上任取一点P, ⑴ ⑵ ⑶ 即： 最小方差集是均值—方差坐标系中的双曲线的一支。 第三讲 资本资产定价理论 一、资本市场线 ＝ 令＝1,其中，表示无风险，表示有风险 如果0, =1－1 如果0, =1－1 二、证券市场组合点 A,B表示两种股票(有风险)，F表示无风险债券 A：总市值660亿元, B：总市值220亿元， F：总市值120亿元 三、资本资产定价模型（CAPM） 1、＝＝＝= = （,,……，）＝ ＝ 2、＝＝ 有风险的市场组合，与各个资产i和市场组合的风险有关，而与各个风险之间的风险无关 ，m, i 越大，市场组合的整体风险越大 E(r) =a +b 四. 证券市场线（SML） E（）= = 其中为贝塔系数。 资本市场线与证券市场线的区别： 资本市场线中，M表示市场组合。 证券市场线表示某一个证券在市场中的风险，等。 五. 证明。 证：设有一投资组合P，风险证券i和有风险的市场组合M。 第i个证券的比例为，有风险市场组合M的比例为。 两式相除： 资本市场线的斜率 其中为均衡市场上第i 个产品的投资收益率。 资本市场线上 P是资本市场线上的点，为投资人期望的投资收益率。 第四讲 随机分析 一、Wiener过程 1、定义如果随机过程满足 （1） （2）是齐次的独立增量过程 （3）对于每一个，有 则称随机过程为维纳过程。特别的当σ=1时，，称为标准的维纳过程。 对于，，是相互独立且 2、定义 ①均值函数： ②方差函数： ③（自）协方差： ④（自）相关函数： 3、二阶矩过程 定义若随机过程，对于任意t，都有 二、均方极限 1、Z与相等， ① ② 有上两式知： 2、均方极限 ，记为： 3、 ，则： a、b为常数则： 三、均方连续 1、设为二阶矩过程，若，则称在点t除连续， 2、连续的准则 ，，在点t处连续在处连续。 ，不妨令则： 若：反之可推，所以 四、均方导数 1、设为二阶矩过程，如果存在则称在点t处可导，记为：， 2、均方可微准则 ，，在点t处可微