金融衍生產品的定价综述.docVIP

金融衍生产品定价模型综述 蒲实 （重庆大学数学与统计学院2008级统计2班） 一．摘要 衍生证券已经有很长的历史。期权和期货是所有衍生证券里在交易所交易最活跃的衍生证券。十七世纪晚期，在荷兰的Amsterdam股票交易所，就已经有了期权这种形式的证券交易。1973年建立的Chicago Board Options Exchange (CBOE) 大大带动了期权的交易。19世纪出现有组织的期货市场。 期权定价理论是最成熟也是最重要的衍生证券定价理论。最早的期权定价理论可以追溯到1900年Bachelier (1900) 的博士论文，Bachelier的主要贡献在于：发展了连续时间游走过程。受Louis Bachelier 工作的启发，Kiyoshi It?在二十世纪四、五十年代作出了随机分析方面奠基性的工作，这套理论随即成为金融学最本质的数学工具，也带来了衍生证券定价理论革命性的飞跃。但是，风险中性定价的概念直到Black-Scholes（1973）和Merton（1973）才得以突破。他们的工作使随机分析和经济学达到了最优美的结合，也给金融实际操作带来了最具有影响力的冲击。由于许多权益都可以被视为偶发性权益（例如债务，股权，保险等），所以在他们以后，期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。 我们可以把这些研究大致分为：复杂衍生证券的定价（例如MBS，奇异期权等）；数值计算（例如美式期权定价，亚式期权）；拓展模型来解释Black-Scholes 模型不能解释的现象（例如Volatility smile）；交易约束和交易成本对衍生证券套期保值和定价的影响。 二．关键词 金融衍生产品，维纳过程(wiener Processes) ，Ito(伊藤)引理，随机过程，布朗运功，套期保值，鞅过程。 三．正文 1． 二项树模型 该模型由Sharpe（1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein（1979）对它进行了拓展，将二项分布用于描述股价运动，从此二叉树模型被广泛运用于衍生品的定价，成为构造离散时间价格运动的基本模型。定义如下：=标的资产现在的价格；=标的资产上涨的概率；=无风险利率；=标的资产上涨的幅度；=标的资产下跌的幅度；=衍生证券现在的价格；=当标的资产价格为时衍生物的价格；=当标的资产价格为时衍生物的价格 对的限制为 我们构造无风险套期保值证券组合：以价格买一份股票，买份以股票为标的物的衍生证券（称为套期保值比率）。如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券组合是无风险的。得到：解得衍生证券的份数： 因为套期保值证券组合是无风险的，它的终端支付应该等于它的现价乘以 即：从这个式子得出衍生证券的价格：把套期保值比率代入得： 设则从而，我们得到： 这里定义的总是大于0而小于1，具有概率的性质，我们称之为套期保值概率。从的定义可以看出，无套利条件成立当且仅当大于0而小于1（即，是概率），所以，在金融学里，我们又把称为等价鞅测度。这儿所说的正是金融学的一个重要定理：无套利等价于存在等价鞅测度。我们也可从另外一个角度来解释的意义：是当市场达到均衡时，风险中性者所认为的值，即，股票价格上涨的概率。作为风险中性者，投资者仅仅需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率，因此，我们有：从中解出值， 得到：所以，对一个风险中性者来说，=，而衍生证券的价格可以解释为，在一个风险中性环境中，衍生证券的期望终端支付的折现值。在求得衍生证券价格的过程中，有两点是至关重要的，一是套期保值证券组合的存在性；二是无风险的套期保值证券组合的的回报率为无风险利率。无套利定价原理很容易推广到多期二项树股票价格过程。Cox, Ross and Rubinstein（1979）证明，当二项树模型中每期的时间趋于0时，股票价格依分布收敛于对数状态扩散过程，而期权价格公式收敛于Black-Scholes-Merton定价公式。 2． Black-Scholes-Merton模型 Black and Scholes (1973) 和Merton (1973) 利用随机分析这种强有力的方法，第一次对期权定价问题提出了严格的解。标的股票的价格服从如下的随机微分方程 ,为常数，称为漂移项，可以视为股票的瞬时期望回报率，为常数，称为扩散项，可以视为股票的瞬时标准差，为标准布朗运动， 为常数。无风险债券的价格服从如下的方程（、为常数） 对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数 这里，我们并不知道函数的具体形式，只知道它在是两次连续可微的。对函数利用It?引理，我们得到, 这里， 下面，我们利用套期保值的思想，