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数学解题教学中提升思维能力的例说 　　摘 要：数学解题教学中，通过具体案例，利用师生思维互动，结合解题反思，培养学生思维的稳定性、独特性和深刻性，提升学生的思维品质. 　　关键词：解题教学；思维互动；解题反思；提升思维品质 　　[?] 对解题教学的认识 　　著名数学家、数学教育家波利亚的教学理念是：中学数学的首要任务就是加强解题训练，掌握数学就意味着善于解题；数学课堂应该围绕着问题解决来组织，数学教师应该创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境. 我们自然要问，在解题教学中，怎样提高课堂效率呢？我们知道，当你找到第一个蘑菇后（或有了第一个发现后），一定要环顾四周，因为它们总是成堆生长的. 这就是人们常说的“采蘑菇”现象. 同时，新课程提倡学生自主探究、合作学习，广大教师都在积极探索如何改革课堂教学模式. 探索师生互动在数学教学中的作用，研究数学课堂交流对学生学习积极性、思维能力及学习效果的影响. 所以，通过师生互动促进解题教学中的解题反思，提升学生的思维品质，可以提高课堂解题教学效率. 下面通过具体的案例来说明解题教学中提升思维能力的做法. 不当之处，还请批评指正. 　　[?] 解题教学案例分析 　　问题：（2010福建高考）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. 　　（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小是多少？ 　　（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（既确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 　　试题简析：本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.此题难度适当，解法灵活多变，是师生交流互动的良好素材. 　　回顾问题的探究过程，现把学生的思维过程概括为如下的三个阶段： 　　1. 常规探究，夯实基础，培养思维的稳定性 　　学生先审题、独立思考，然后交流、讨论. 几分钟后，学生开始发言. 　　学生1：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 　　S==. 　　由二次函数性质可知，当t=时，Smin=10，此时v=30. 　　即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. 　　学生2：如图1，作OC⊥AB与C，则AC=10，OC=10，要使小艇航行的距离最小，则航行方向为OC，由t==，得v=30. 　　教师：学生1建立了二次函数模型，利用二次函数的最值得出实际问题的解. 学生2利用了图形的直观性，解法简洁精练. 　　对于问题（2），学生给出了下面的解法. 　　学生3：如图2，设小艇与轮船在B处相遇，由（1）有S2=v2t2=900t2-600t+400，故v2=900-+，又0v≤30，所以900-+≤900，解得t≥. 又t=时，v=30. 此时在△OAB中，有OA=AB=OB=20，故可设计航行方案如下：航行方向北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 　　[O][A][B][C][P] 　　教师：学生3根据问题（1），建立了速度v和航行时间t的等量关系，过程简练. 还有其他解法吗？（继续追问，是为了夯实基础，培养思维的发散性） 　　过了一会儿，有学生给出了下面的解法. 　　学生4：如图2，相遇点不在AC上， 设相遇点为B，∠COB=θ（0°θ90°），在Rt△BOC中，易知BC=10tanθ，OB=，所以t==，解得v=. 又v≤30，所以sin（θ+30°）≥，30°≤θ≤90°，由于θ=30°，tanθ取得最小值，此时t=取得最小值. 下略. 　　教师：在学生回答问题后，追问相遇点P为什么不在AC上？ 　　这样做，学生的思维比较流畅，有成功的体验，有利于培养学生积极主动的求知态度，培养学生的理性思维. 最后引导学生证明：对于AC上的任意点P，由于∠PAO=60°30°≥∠POA，故OPPA，≥，所以轮船先到达点P. 　　学生5：先证明相遇点不在AC上，设相遇点为B，CB=x，则OB=，依题意t==，解得v=，由v=≤30，解得x≥10，所以当x=10时，t=有最小值. 　　学生6：对于学生5的解法，如果规定了向东为正，此时可以设CB=x（x -10），当x0时，点B在点C右侧，当x0时，点B在点C左侧. 利用有向线段把两种情况统一起来，不用证明相遇点不在AC上. 　　教师：学生6灵活运用了有向线段的数量，它还可以提升我们对平面向