鉆孔轴线空间曲线方程的建立及探讨.docVIP

钻孔轴线空间曲线方程的建立及探讨 李海泉 赵天心 （武警黄金第八支队, 河北 遵化 064200） 摘 要：为了提高钻孔测斜数据的处理精度，笔者提出钻孔的方位角及倾角在相邻测斜点之间是均匀变化的假设；以微积分学为工具，推导出钻孔轴线空间参数方程及其在平、剖面上的投影方程；以实例对现行的数据处理方法所得结果和按曲线方程处理所得结果进行比较，认为该种处理方法比较接近实际情况，同时能为自动绘图提供方便。 关键词：钻孔轴线；曲线方程；积分 钻探工程是控制矿体深部必不可少的手段，设计钻孔通常为直孔或斜孔①，钻孔轴线为一条空间直线，但在钻孔施工过程中由于受岩石岩性、岩层接触关系及施工技术等影响，钻孔的方位角和倾角大多数情况下是变化的，此时钻孔轴线已由设计时的空间直线变为曲线，目前对钻孔轴线的处理通常是使一个测斜点的钻孔方位角、倾角向上下各影响与相邻测斜点距离的一半，按一段线段处理（各段线段的连接点笔者称为“计算点”），用空间解析几何的方法计算出钻孔计算点在水平平面上的投影点及勘探线剖面上投影点坐标，而后连接成圆滑曲线[1]，这种处理方法不足之处是当钻孔的方位角、倾角变化时，计算点处的钻孔方位角、倾角是突变的，且计算点之间钻孔方位角、倾角是不变的，这与钻孔的空间实际位置是不相符的。 笔者提出钻孔的方位角、倾角的变化在各测斜点之间是均匀变化的假设，在此基础上建立钻孔轴线的空间曲线方程并进行了讨论，以期提高对钻孔测斜数据的处理精度。 1 钻孔轴线空间曲线方程的建立 设钻孔的孔深为l m，方位角为a(弧度，下同)，倾角为b(弧度，下同)，孔口空间坐标为（X0，Y0，Z0）（单位为米，下同），开孔方位角为A0，开孔倾角为B0，开孔孔深l0，l0=0米。钻孔施工中测斜的次数为n，各测斜点的坐标为（Xi，Yi，Zi）(i=1,2,3,…n)，各测斜点的数据为（li，Ai，Bi）(i=1,2,3,…n)。 钻孔的轴线是一条空间曲线，各点的坐标是孔深l的函数，以 l为参数，钻孔轴线的参数方程可表示为 1.1 假设条件 钻孔在施工过程中是按规范要求每隔一定的深度测量一次孔斜，各测斜点之间的钻孔孔斜数据是未知的，假定各相邻测斜点之间的钻孔方位角(a)及倾角(b)的变化是均匀的,也就是说二者的变化是线性的，用表示第i-1和第i次测斜之间方位角的平均变化率，用表示第i-1和第i次测斜之间倾角的平均变化率，可得 由于各相邻测斜点之间的和通常是不相同的，所以，钻孔轴线的空间参数方程是以各测斜点为分界点的分段函数, 则空间曲线方程可表示为 1.２ 如图1所示，曲线NV是钻孔轴线的实际位置，曲线NW是钻孔轴线在勘探线剖面上的投影，曲线NQ是钻孔轴线在水平面上的投影，曲线NV相应于[li-1，li]（图上为[l2,l3]）上的任一小区间[ti , ti+dti]的一段弧的长度与曲线上在点ti处的切线上相应的一小段tiR的长度近似相等，即 tiR≈dti 。 因此函数 在点ti处相应于自变量ti的微分dti的微分分别为 在[0，ti] 内 函数的增量△xi、△yi、△zi为 各相邻测斜点之间钻孔轴线的空间参数方程为 1.３ 积分式的计算 在钻孔轴线的空间参数方程中含有积分表达式，下面求出用原函数表示的参数方程： 1) xi的计算 根据和的值该积分式的原函数分为四种情况： 2) yi的计算 根据和的值该积分式的原函数分为四种情况 3) zi的计算 根据的值该积分式分的原函数为两种情况 2 讨论 2.1 钻孔的方位角(a)及倾角(b)的变化率 考察钻孔在 ti处的方位角(倾角与之相同)的瞬时变化率：设在ti时的钻孔方位角为ai，当钻孔在ti处获得增量 △ti时，ai相应的有增量于是比值 , 是钻孔在ti到ti+△ti这段深度内的平均变化率，记作，即 , 钻孔的方位角的变化率通常是连续变化的，从整体上看，变化率是变化的，但从局部看，在一段很短的钻孔进尺△ti内，变化率的变化不大，可以看作是等速的，因此当△ti很小时，可以作为钻孔在ti处的瞬时变化率的近似值，当△ti→0时，的极限就是方位角在ti处的瞬时变化率，即 , 得各点的方位角为 , 从而求出钻孔轴线的准确位置。 在钻孔实际施工中，相邻测斜点的间隔不可能无限小，因此各点的变化率无法直接测量，在数据处理时只能用相邻测斜点之间的平均变化率代替各点的瞬时变化率，当方位角实际变化不均匀时，这样处理势必造成计算得到的钻孔曲线与钻孔轴线的空间位置有一定的偏差，适当加大测斜点的密度和提高测斜精度能减少这种偏差。 2.2 应用 1）求控矿点的空间坐标 将见矿孔深代入