《中考——数学整体思想的应用.docxVIP

中考---数学整体思想的应用整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养同学思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．一．数与式中的整体思想例1.已知，则的值等于（）A. B. C. D.分析：根据条件显然无法计算出，的值，只能考虑在所求代数式中构造出的形式，再整体代入求解．解：说明：本题也可以将条件变形为，即，再整体代入求解．例2．已知代数式，当时，值为，则当时，代数式的值为解：因为当时，值为，所以，即，从而，当时，原式例3 已知代数式3x2－4x+6的值为9，则的值为 ( ) A．18 B．12 C．9 D．7【分析】如果根据题意直接求出x再代入到中求值将非常麻烦，特别是x为一个无理数．考虑到由题意3x2－4x=3成立，而3x2－4x是的3倍，所以可以将看作一个整体，则．【解】D此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解【练习】先化简，再求值，其中满足2－2－1=0．【分析】对分式进行化筒结果为，如果把求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把2－2看成一个整体，则由已知可得2－2=1，所以原式=．【解】原式=当2－2=1时，原式=．例4 计算：【分析】如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征．考虑用“整体替换”．【解】设：，，则原式=(1+b)－(1+)b=－b=．例5．（2013凉山州）化简的结果是．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案．解：=（m+1）﹣1=m例6．（4分）（2013?攀枝花）设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为　﹣　．点：根与系数的关系3718684专题：计算题．分析：利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，变形后将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=﹣，则原式=====﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．例7 （6分）（2013?内江）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，则sinA﹣sinB=　±　．考点：互余两角三角函数的关系．分析：根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值，代入即可求解．解答：解：（sinA+sinB）2=（）2，∵sinB=cosA，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=，∴2sinAcosA=﹣1=，则（sinA﹣sinB）2=sin2A+cos2A﹣2sinAcosA=1﹣=，∴sinA﹣sinB=±．故答案为：±．点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键．二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例8．已知，且，则的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出，再代入肯定比较麻烦，注意到条件中是一个整体，因而我们只需求得，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：，所以，从而，解得例4．已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为为分析：如果把代入，解出，的值，再代入进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组中令，则此方程组变形为，对照第一个方程组即知，从而，容易得到第二个方程组的解为，这样就避免了求，的值，又简化了方程组，简便易操作．解：说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例9．解方程分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设，则原方程变形为，即，解得，，所以或，从而解得，，，，经检