《二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系.docVIP

目 录 摘要……………………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………………1 Abstract………………………………………………………………………………………1 Key words……………………………………………………………………………………1 引言……………………………………………………………………………………………1 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义……………………………………………1 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系………………………………………2 2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系………………………………………………2 2.2二元函数连续与可微之间的关系………………………………………………………3 2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系………………………………………………3 2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系………………………………………………4 二元函数连续、偏导数、可微的关系图………………………………………………………6 参考文献………………………………………………………………………………………7 致谢……………………………………………………………………………………………8 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设为定义在点集上的二元函数，（或者是的聚点，或者是的孤立点），对于任给的正数，总存在相应的正数，只要，就有，则称关于集合在点连续. 定义2 设函数，若且在的某一邻域内有定义，则当极限存在时，则称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作. 定义3 设函数在点某邻域内有定义，对于中的点，若函数在点处的全增量可表示为，其中、是仅与点有关的常数，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微. 2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 2.1 二元函数连续与偏导数存在之间的关系 例 在偏导数存在但不连续. 证明 因为 ， 同理可知 . 所以 在偏导数存在. 因为 极限不存在，所以 在不连续. 例 在点连续，但不存在偏导数. 证明 因为 ， 所以 在点连续， 因为 ,该极限不存在， 同理 也不存在. 所以 在点连续，但不存在偏导数. 此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导. 2.2 二元函数连续与可微之间的关系 定理 若在点可微，则在点一定连续. 证明 在点可微， (1) 所以 当时，有，即 在该点连续. 例 证明在点连续， 但在点不可微. 证明 令，则. 因为 , 所以在点连续. 按偏导数定义, 同