《任意三角函数计算公式是如何得来的.docVIP

三角函数(Trigonometric function)。尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(1707-1783)在《无穷0小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前。? ? ? ?研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多(约476-550)定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯(1436-1476)为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此。? ? ? ?当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。意大利数学家利提克斯(1514-1574)改变了前人的做法，即过去一般称AB为的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起。? ? ? ?而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦。? ? ? ?从而使正弦值直接与角挂勾。? ? ? ?而使圆O成为从属地位了。到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中。? ? ? ?从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。正弦、余弦正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与证明的。中亚细亚人艾伯塔鲁尼﹝ 973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个证明。也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论证了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角。? ? ? ?可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学。? ? ? ?走上独立发展的道路。托勒密(Claudius Ptolemy)的《天文学大成》第一卷除了一些初级的天文学数据之外。? ? ? ?还包括了上面讲的弦表。它给出一个圆从(1/2)°到180°每隔半度的所有圆心角所对的弦的长度。圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位。? ? ? ?以六十进制制表达。这样。? ? ? ?以符号crda表示圆心角a所对的弦长。? ? ? ?例如crd 36°=37p455。? ? ? ?意思是：36°圆心角的弦等于半径的(或37个小部分)。? ? ? ?加上一个小部分的，再加上一个小部分的。? ? ? ?从下图看出，弦表等价于正弦函数表公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分。? ? ? ?整个圆周为21600份，然后据2πr=216000。? ? ? ?得出r=3438﹝近似值﹞。? ? ? ?然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后。? ? ? ?再用半角公式算出较小角的正弦值。? ? ? ?从而获得每隔3°45的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长。? ? ? ?比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分数式。2.正切、余切著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝ 850-929﹞于920年左右。? ? ? ?制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表。公元727年。? ? ? ?僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度。? ? ? ?一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝ tangent﹞函数。而巴坦尼编制的是余切函数表。? ? ? ?而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角。? ? ? ?这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。14世纪中叶。? ? ? ?中亚细亚的阿鲁伯﹝ 1393-1449﹞。? ? ? ?原是成吉思汗的后裔。? ? ? ?他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数9位。他还制造了30°到45°之间相隔为1。? ? ? ?45°到90°的相隔为5的正切表。在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝ 1290?-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中。3.正割、余割正割﹝ secant﹞及余割﹝ cosecant﹞这两个概念由阿布尔─威发首先引入。sec这个略号是1626年荷兰数基拉德﹝ 1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。欧洲的「文艺复兴时期」。? ? ? ?﹝ 14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝ 1473-1543﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的