数学教案－等差数列.doc

数学教案－等差数列 §3.2.1等差数列 目的：1.要求学生掌握等差数列的概念 2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。 重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可 2.等差数列的通项公式：an=a1+d . 3．等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且 难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。 ?? ???等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。 过程： 一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，…… ? 3，0，-3，-6，…… ， ， ， ，…… 12，9，6，3，…… ??? 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差” 二、得出等差数列的定义： ??? 注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。 1．名称：AP 首项 ??公差 2．若 ? 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式： ?? 由此归纳为? ???当 时 ? ?? 注意: ?1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数 ? 2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP ? 证明：若 它是以 为首项， 为公差的AP。 ? 3° 公式中若 ?则数列递增， 则数列递减 ? 4° 图象： 一条直线上的一群孤立点 三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以 ??? 求出另一个。 例1 例2 ? 注意：该题用方程组求参数 例3 ? 此题可以看成应用题 四、? 关于等差中项： 如果 成AP 则 ? 证明：设公差为 ，则 ? ?? 例4? 《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。 ?? 解一： ? ∴ 是-1与7 的等差中项 ?? 又是-1与3的等差中项 ? 又是1与7的等差中项? ??? 解二：设 ? ∴所求的数列为-1，1，3，5，7 五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 ?? 1．定义法：即证明 sp ;? 例5、已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。? ? 解： ? 当 时?? 时 亦满足? ? 首项 ? ?? 成AP且公差为6 ? 2．中项法： 即利用中项公式，若 则 成AP。 ?? 例6?? 已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。 证明： ， ， 成AP?? ?? 化简得： ?? ? = ， ， 也成AP 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。 例7? 设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？ ?? 解： 时 ? 时 ?? ?? ∴ ??? ?? ∴ 数列 不成AP?? 但从第2项起成AP。 五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法 六、作业： P118 习题3．2 1-9 ?? 七、练习： ??? 1．已知等差数列{an}，an=2n+3,求a1和d?? a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100. ??? 2.在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。 注：不能只计算a 2-a1、、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。 ??? 3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。 ??? 4．在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。 ? 分析：本题可采用两种方法来解。