《勾股定理教学设计一.docVIP

勾股定理（一） 教学目的：1．使学生掌握勾股定理及其证明. 2．通过讲解我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，对学生进行受国主义教育、学习目的教育. 教学重点：勾股定理的证明和应用. 教学难点：勾股定理的证明. 教学过程： 新课引入：直角三角形三边之间有一种特别重要的关系，早在我国古代就引起人们的兴趣。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。介绍商高答周公的勾三股四弦必五的故事。 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： ??? 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” ??? 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” ?? ? 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。 右边的正方形是四个全等直角三角形与一个正方形组成，其面积为。 （3）左、右两个正方形面积相等，即 ， ∴ 。 （4）勾股定理的变形。今后在运用勾股定理时，根据需要可将其变形为：或，从而可知，在Rt△中已知两边可求出第三边。 向学生说明，这种证法是采用割补拼接（称拼图）的方法。在拼补过程中只要没有重叠、没有空隙，而面积不会改变，利用计算也可以证明几何命题，而且是一种常用的证明方法。 勾股定理的证明方法很多，以后还会用其它方法来证明。 我国发现勾股定理的时间比较早，在公元前一世纪《周髀算经》里记载着夏禹（公元前21世纪）和商高（公元前1120年）发现了这个定理。春秋时代（公元前6、7世纪）陈子也对这个定理作出了很大贡献，所以也叫陈子定理。又由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此这个定理就称为勾股定理。 在西方最早发现这个定理的相传是公元五百多年古希腊数学家毕达哥拉斯，所以西方多称“毕达哥拉斯定理”，他们的发现比我国晚了好几百年。我们的祖先是勤劳智慧的！ 勾股定理是平面几何中一个十分重要的定理，它反映了直角三角形中三条边之间 的数量关系，在理论和实践中应用很广。 课堂提问 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠， （1）已知a=6，b=8，求c； （2）已知a=40，c=41，求b； （3）已知∠A=30°，a=2，求b、c； （4）A=45°，c=4，求a、b。 例题精选 例1 已知：如图，等边ΔABC的边长是6cm. 查表求高AD的长； 求SΔABC. 解 (1)∵ΔABC是等边三角形，AD是高， ∴ BD=BC=3. 在RtΔABD中，AB=6，BD=3，根据勾股定理， AD2=AB2－BD2. ∴ AD===5.196. (2)SΔABC=BC·AD=?6?5.196=15.588(cm2). 例2 已知：如图，在RtΔABC中，?C=90?，D、E分别为BC、AC的中点，AD=5，BE=2，求AB的长. 分析 先求BC，AC，再由勾股定理求AB. 解 设AC=b, BC=a,AB=c, ∵ AD、BE是中线 ∴ CE=，CD=， 又∵ ?C=90? ∴ 在RtΔACD中，CD2+AC2=AD2 在RtΔBCE中，BC2+CE2=BE2 ∵ AD=5，BE=2， ∴ 两式相加得，(a2+b2)=65 ∴ a2+b2=52 ∵ 在RtΔABC中，?C=90?， ∴ AB2=AC2+BC2=a2+b2=52. ∴ AB=2. 说明 在本题中要求的是AB即,(这就是解题的目标)，因此，只要能直接求出a2+b2就没有必要分别求出a,b.在解题时，正确地确定并牢牢地把握解题目标是非常重要的. 例3 如图，在ΔABC中，?BAC=75?，?B=45?，AB=cm,求ΔABC的面积. 分析 为了求ΔABC的面积，就需要求出它的一条边和这边上的高. 题中已知AB=,因此，首先想到的就是能否求出AB边上的高CE.容易看出，CE=BE，但BE是多少呢？由于已知条件?A=75?，不好运用，所以难以求出. 于是，我们换一角度思考，能否求出BC边BC边上的高呢？ 根据上述思路解题如下： 解 AD?BC于D，则在RtΔ ABC中， ∵ ?B=45? ∴?DAB=90?－?B=45? ∴AD=BD 由勾股定理得AD2+DB2=AB2 即 2AD2=AB2=6. ∴ AD= ∵?CAD=?CAB－?BAD=75?－45?=30? ∴ CD=AC. 在RtΔ ADC中，由勾股定理得 AC2=DC2+AD