从2014四川省部分地区高三一诊数学压轴题探讨高等数学知识在高考中的应用摘要.doc

从2014四川省部分地区高三一诊数学压轴题 探讨高等数学知识在高考中的应用 【高等数学知识背景】 （一）罗尔中值定理 【定理描述】设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则在内至少存在一点，使得。 【定理证明】 证明：在闭区间上连续，则必有：存在。 若，则，为常数函数，则内任意一点都可以作为，使得成立； 若，由知，和中至少有一个在内某点取得，不妨设。 在开区间上可导，则在的极限存在，即： 为上的最大值，所以必有。 当时，，； 当时，，；. 柯西中值定理 【定理描述】若函数、满足：（1）在上连续，在内可导；（2）在， 。 则：至少存在一点使得。 【定理证明】 作辅助函数： 易知在闭区间上连续，在开区间上可导，且，即满足罗尔定理的条件。 在内至少存在一点，使得，即： 即。 拉格朗日中值定理 【定理描述】设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则至少存在一点使得 。 【定理证明】 证明：由柯西中值定理： 函数、满足：（1）在上连续，在内可导；（2）在， 。 至少存在一点使得。即：。 函数的凹凸性 1、凹凸函数的几何特征 几何特征一：（形状特征） （凹函数） （凸函数） 如图，设是凹函数曲线上两点，它们对应的横坐标，则，，过点作轴的垂线交函数于，交于B，凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的下方;凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的上方。 简记为：形状凹下凸上。 几何特征二：（切线斜率特征） （凹函数） （凸函数） 设是函数曲线上两点，函数曲线与之间任一点处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而增大；:凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。 几何特征三：（增量特征） （凹函数） （凸函数） （凹函数） （凸函数） 设函数为凹函数，函数为凸函数，其函数图象如图所示，由第二排的图可知，当自变量逐次增加一个单位增量时，函数的相应增量越来越大；函数的相应增量越来越小； 由此，对的每一个单位增量，函数的对应增量凹函数的增量特征是：越来越大；凸函数的增量特征是：越来越小；简记为：增量凹大凸小。 2、凹凸函数的几种常见性质： 设是定义在上的函数： 性质1：在内连续，若，成立为凸函数； 成立为凹函数； 性质2：， 为凸函数；若当且仅当取“=”，则严格上凸； 为凹函数；若当且仅当取“=”，则严格下凹； 性质3：若在内可导，： 为凸函数；为凹函数； 性质4： 若在内可导：单调递增为凸函数；单调递减为凹函数； 性质5： 若在内二阶可导：为凸函数；为凹函数； 性质6：设， 若的图形在上是凸的，则 若的图形在上是凹的，则 几何意义：如图所示，在弧AB上任取两点，其中，若的图形在上是凸的（或凹的），则弦斜率小于（大于）过点的切线斜率，大于（小于）过点的切线斜率，即弦MN斜率的大小总是在过两端点的切线的斜率之间。 性质7：设 （1）若的图形在上是凸的，则 （2）若的图形在上是凹的，则 几何意义： 如图所示，在弧上任取3点，其中。当的图形在上是凸的(凹的)时，弦的斜率大于(小于)弦的斜率 琴生（Jenson）不等式 若函数在区间I 是凸的，则有不等式 其中 为凸函数，为上的任一弦，设，不妨设 ，则直线 的方程为 从而由上所述凸函数几何性质有 【2014成都一诊压轴题理】 已知函数，，. 若，求曲线在处的切线方程 若对任意，都有恒成立，求的最小值； 设。若为曲线上的两个不同点，满足，且，使得曲线在处的切线与直线平行，求证： 【标准解答】 【高数解答】 不难看出本题第三问的题设部分正好是拉格朗日中值定理的描述。本题结论形似函数凹凸性，利用函数凹凸性及定积分的几何意义求解本题会有意想不到的效果。 【2014眉山一诊压轴题理】 已知函数，. 若直线与的反函数相切，求实数的值； 设，讨论曲线与曲线公共点的个数； 设，比较与的大小，并说明理由. 【标准答案】 解:() f (x)的反函数. 设直线y=kx+1与相切与点 .所以 4分 () 当 x 0,m 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数. 分 由, 则 h(x)在 6分 所以对曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数,讨论如下: 当m 时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m 有2个公共点; 8分 () 设 分 令. ,且 . 12分 所以与函数的凹凸性有密切关系，与拉格朗日定理有密切关系，因此可参考【成都一诊压轴题】解法求解。 【2014绵阳一诊压轴题理】 已知函