椭圆及其标准方程 —— 高中几何数第二册教案.doc

椭圆及其标准方程 —— 高中几何数第二册教案 教学目标： 1．理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念 2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程 3．能由椭圆定义推导椭圆的方程 4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 教学重点：椭圆的定义和标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学对象：根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标 学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识?? 但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受?? 所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点 通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础 教学策略：高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用 椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的?? 作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点 同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点?? 根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求 教学媒体：多媒体、实物投影仪??? 教学过程： 一、复习引入： 1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长 2.复习求轨迹方程的基本步骤： 3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 ? 分析：轨迹上的点是怎么来的？ 在这个运动过程中，什么是不变的？ ? 答：两个定点，绳长 即不论运动到何处，绳长不变 二、讲解新课： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点 的距离之和等于常数的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： 两个定点---两点间距离确定 ?? 绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁 在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关 2.根据定义推导椭圆标准方程： 取过焦点 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴 设 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是 . 则 ，又设M与 距离之和等于 ， ， 化简，得? ， 由定义 , 令 代入，得? ， 两边同除 得 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 轴上，焦点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程 其中 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在 轴上焦点则变成 ,只要将方程 中的 调换，即可得 ，也是椭圆的标准方程?? 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在 与 这两个标准方程中，都有 的要求，如方程 就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式 类比，如 中，由于 ，所以在 轴上的“截距”更大，因而焦点在 轴上 三、讲解范例： 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点的距离 之和等于10； 两个焦点坐标分别是和且过 解：因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 　　　　?? 所以所求椭圆标准方程为?? ? 因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知， ＋ 　 　又 所以所求标准方程为?? 另法： ∴可设所求方程 ，后将点的坐标代入可求出 ，从而求出椭