正多边形作图教学设计(一).doc

正多边形作图教学设计(一) 使学生学会用量角器等分圆周的方法；熟练地掌握用尺规将圆周六、三、十二、四、八等分． 尺规等分圆周是重点，特别是将圆周四等分、六等分更为重要． 正n边形的中心角是多少？正六边形的边长是多少？ 前面我们讲过，任意一个正n边形都有一个外接圆，并且正n边形的n个顶点把圆n等分．因此，正n边形的作图问题，实质上就是把它的外接圆n等分问题，把圆n等分后，依次连结各分点就得到正n边形．这节课我们主要学习如何把圆周三、六、十二、四、八等分． 等分圆周的方法有两种： 1．使用量角器法 n等份，从而把圆周分成n等份，依次连结各分点，即得到圆内接正n边形． 由于在度量正n边形的中心角时易有误差，所以使用量角器法是近似等分圆周的方法，在精确度要求不高的情况下可以使用量角器法． 2．尺规作图法 由于受尺规作图的限制，不能用尺规任意等分圆周，只能对于一些特殊的正n边形采用尺规作图法．尺规作图法比较准确． 正四、八边形的作图； 正四边形的作法： 如图1，作直径ACBD； 依次连结AB、BC、CD、DA． 则四边形的ABCD即为所求作的正四边形． 证明：直径ACBD， AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， A、B、C、D是O的四等分点， 四边形ABCD是正四边形． 正八边形的作法： 如图2，作直径ACBD； 作AOB、BOC的平分线交O于E、F点． 延长EO、FO交O于G、H点； 依次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA． 则八边形AEBFCGDH即为所求作的正八边形． 证明：直径ACBD， AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90° ∵ OE、OF分别平分AOB、BOC， 1=∠2=∠3=∠4． 1=∠5，2=∠6，3=∠7，4=∠8， 1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8， 八边形AEBFCGDH为正八边形． 正六、三、十二边形的作图 正六边形的作法： 如图3，作直径AD； 分别为A、D为圆心，以O半径OA为半径画弧交O于B、F、C、E； 依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA． 则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形． 证明：连结OB、OC、OE、OF． AB=OA=OB， 1=60° 同理 2=∠3=∠4=60°． AOD=180°， 5=∠6=60°． 1=∠5=∠3=∠4=∠6=∠2． 六边形ABCDEF是正六边形． 正三角形的作法： 如图4，作直径AD； 以D为圆心，以O半径为半径画弧交O于B、C点； 依次连结AB、BC、CA． 则ABC即为所求作的正三角形． 证明：连结OB、OC、BD、CD． BD=DO=OB， BOD=60°． 同理 DOC=60° ∴∠BOC=120°． AOD=180°， AOB=∠AOC=120°． AOB=∠BOC=∠COA， 则ABC为正三角形． 说明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六边形，但是这样产生的误差较大． 正十二边形的作法： 如图5，作直径AGDQ； 分别以A、D、G、Q为圆心，以O半径为半径画弧分别交O于C、R、B、F、E、P、H、S点； 依次连结AB、BC、CD、DE、…、SA． 则十二边形ABCD……S即为所求作的正十二边形． 证明：连结AC、OB、OC、OE、…、OS． AC=OA=OC， AOC=60°． 直径AGDQ， AOD=90°， COD=30°． 同理 AOB=30°， BOC=30°． 同理 DOE=…=∠SOA=30°． AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=…=∠SOA， 十二边形ABCDE…S为正十二边形． 说明：这里介绍的正十二边形的作法，比起利用二等分正六边形的各中心角的方法作正十二边形较为精确． 当然，如果把正八边形、正十二边形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六边形、正二十四边形，但这样作误差可能大些． 注意：在用尺规作正多边形时，为了减少累积误差