《圆锥曲线的光学性质.docVIP

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探 ———源于课本一份《阅读材料》的探究反思 内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学：王珏 指导教师：张红 学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在 数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反思与整理，写成此文。 圆锥曲线的光学性质 1．1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热． 1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)． 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用． 1．3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3） 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的． 要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明 2．1圆锥曲线的切线与法线的定义 设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点,此时直线称为曲线在点处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线。 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明 预备定理 1.若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：。 证明：由……① 1°当时，过点的切线斜率一定存在，且 ∴对①式求导： ∴∴切线方程为…………② ∵点在椭圆上， 故 代入②得…………③ 而当时， 切线方程为，也满足③式 故是椭圆过点的切线方程. 预备定理2. 若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为： 证明：由……① 1°当时，过点的切线斜率一定存在，且 ∴对①式求导：∴ ∴切线方程为…………② ∵点在双曲线上， 故 代入②得…………③ 而当时， 切线方程为，也满足③式 故是双曲线过点的切线方程. 预备定理 3.若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是 证明：由，对求导得： 当时，切线方程为 即 而………………① 而当时，切线方程为也满足①式 故抛物线在该点的切线方程是. 定理1. 椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1） 已知：如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于 设， 求证：. 证法一：在上，， 则过点的切线方程为： 是通过点且与切线垂直的法线， 则 ∴法线与轴交于 ∴ ∴ 又由焦半径公式得： ∴ ∴是的平分线 ∴ ∵，故可得 证法二：由证法一得切线的斜率，而的斜率，的斜率 ∴到所成的角满足 ∵在椭圆上 ∴ 同理，到所成的角满足 ∴ 而 ∴ 证法三：如图，作点，使点与关于切线对称，连结，交椭圆于点 下面只需证明点与重合即可 一方面，点是切线与椭圆的唯一交点，则，是上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为上的其它点均在椭圆外） 另一方面，在直线上任取另一点 ∵ 即也是直线上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而与重合 即而得证 定理2 双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）； 已知：如图，双曲线的方程为，，分别是其左、右焦点，是过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设， 求证： 证明： 两焦点为， 在双曲线上 则过点的切线 切线与轴交于。 由双曲线的焦半径公式得 双曲线的两焦点坐标为， 故 故 ， ∴切线为之角分线。 定理3 抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）。 已知：如图，抛