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定积分的计算方法 摘要 Calculation method of definite integral Abstract the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills. Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method 目录 目录 2 1绪论 3 1.1定积分的定义 3 4 2 常用计算方法 5 2.1定义法 5 2.2牛顿-莱布尼茨公式 6 2.3定积分的分部积分法 7 2.4定积分的换元积分法 7 3 简化计算方法 9 3.1含参变量的积分 9 3.2有理积分和可化为有理积分的积分 10 4总结 12 致谢 13 参考文献 13 1绪论1.1定积分的定义 定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，如图1.1所示。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为 其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。 根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法： 特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为： 性质2 性质3 假设abc 性质4 如果在区间上，恒有,则 性质5 如果在区间上，,则(ab) 性质6 设及分别是函数在区间上的最大值及最小值， 则 ,此性质可用于估计积分值的大致范围[3]。 性质7 若f(x)在[a,b]上可积，则∣f(x)∣在[a,b]上也可积， 且 性质8（积分第一中值定理） 设函数f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积，且在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得： 2 常用计算方法 2.1定义法 定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限。以为例：任意分割,任意选取作积分和再取极限。任意分割任意取所计算出的I值如果全部相同的话，则定积分存在。如果在某种分法或者某种的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在。如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取。但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作的特殊分法，选取特殊的，计算出定积分[4]。 第一步：分割. 将区间分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式。，那么分割点的坐标为，，......，，在任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的，即左端点，右端点或者中点。经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形。我们近似的看作是n个小长方形。 第二步：求和. 计算n个小长方形的面积之和，也就是。 第三步：取极限. ，即，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长